正弦定理和余弦定理

1,作角A的角平分线交BC边于点D，因为角A=2角C，所以有角DAB=角DAC=角C，所以有三角形ABD相似于三角形CBA，设BD=X，则CD=AD=a-X,于是有x/c=c/a=(a-x)/4,于是有c/a=a/(c+4)[这时用到的是这样一个关系，a/b=c/d=(a+c)/(b+d)，这是等比定理，很容易证],这样就得到a^2=c^2+4c.而a+c=8,所以有c^2-16c+64=c^2+4c于是得到c=16/5,a=24/5.
2,由正弦定理知a/sinA=b/sinB,所以有tanA/tanB=(sinA)^2/(sinB)^2,lsinA,sinB不等于0，所以有cosB/cosA=sinA/sinB,所以有sin2A=sin2B,化简得cos(A+B)sin(A-B)=0[这里用到的是和差化积公式，sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2],sina-sinb=2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]],于是可以得到A+B=90,或A=B所以有三角形ABC是直角三角形，或是等腰三角形。
3，解方程可以得到，方程的根为√3+1,√3-1,sin(A+B)=√3/2,因为三角形ABC为锐角三角形，所以有180>A+B>90,于是得到A+B=120，C=60，由余弦定理得c=a^2+b^2-2abcosC=6,所以有c=√6，S△ABC=1/2absinC=√3/2
4.由余弦定理得到a^2=b^2+c^2-2bccosA,而b²+c²-bc=a²所以有cosA=1/2.于是得到A=60，B+C=120，C=120-B由正经弦定理得c/b=sinC/sinB,sinC=sin(120-B)=
√3/2cosB+1/2sinB,而(c/b)=((1/2)+√(3)),所以有sinC=1/2sinB+√3sinB,于是有√3/2cosB=√3sinB,所以有tanB=1/2
sin2A=sin2B化简到cos(A+B)sin(A-B)=0采用了各差化积化积公式。这样吧给你证一下了，这个公式你要记住的，以后无论是做题还是考试都很有用的。
证明：sin2A-sin2B=sin[(A+B)+(A-B)]-sin[(A+B)-(A-B)]=[sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)]-[sin(A+B)cos(A-B)-cos(A+B)sin(A-B)]=2cos(A+B)sin(A-B)=0！
明白不？！