如何理解函数的极限的证明过程

只要证明｛x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明｛x(n)}单调增加。

x(2)=√［2+3x(1)]=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√［2+3x(k+1)]-√［2+3x(k)](分子有理化）

＝/【√［2+3x(k+1)]+√［2+3x(k)]】＞0。

②证明｛x(n)}有上界。

x(1)=1<4，

设x(k)<4，则

x(k+1)=√［2+3x(k)]<√（2+3*4)<4。

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→＋∞）f(x)=lim(x→＋∞）x/t^x

＝lim(x→＋∞）(分子分母分别求导）

＝lim(x→＋∞）1/(t^x*lnt)

＝1/(+∞）

＝0

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

题的步骤基本为：
任意给定ε>0，要使|f(x)-A|<ε，（通过解这个不等式，使不等式变为δ1(ε）对于任意给定的ε>0,都找到δ>0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε . 即当x趋近于x0时，函数f(x）有极限A
例如证明f（x）=lnx在x趋于e时，有极限1
证明：任意给定ε>0，要使|lnx-1|<ε，只须-ε＜lnx-1＜ε,1-ε＜lnx＜1+ε,e＾(1-ε)＜x＜e＾(1+ε), ∴e＾(1-ε)-e＜x-e＜e＾(1+ε)-e,取δ(ε）=min（e-e＾(1-ε)，e＾(1+ε)-e）min后面两数是不等式两端的值，但左边的是不等式左端的负值要取绝对值，这两正数取较小的为δ，于是对于任意给定的ε>0,都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε . 即当x趋近于e时，函数f(x）有极限1
说明一下：1）取0<|x-e|，是不需要考虑点x=e时的函数值，它可以存在也可不存在，可为A也可不为A。 2）用ε-δ语言证明函数的极限较难，通常对综合大学
数学
等少数专业才要求，我们学习时，老师讲解放前我们（p大）数学专业只要求五分之一的人掌握。