求y=1⼀2（e^x-e^-x）的反函数？

y=1/2（e^x-e^-x）的反函数为y=ln(x+√(x^2+1))。

解：原函数为y=1/2*(e^x-e^(-x))

化解可得，2y*e^x=e^(2x)-1

e^(2x)-2y*e^x-1=0

令t=e^x，

则变为t^2-2yt-1=0

化简可得，(t-y)^2=y^2+1

解得t=y+√(y^2+1)，或者t=y-√(y^2+1)。

又t=e^x＞0，所以t=e^x=y+√(y^2+1)，

那么x=ln(y+√(y^2+1))

所以y=1/2（e^x-e^-x）的反函数为y=ln(x+√(x^2+1))。

扩展资料：

反函数性质

1、函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。

2、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。

3、大部分偶函数不存在反函数。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

4、反函数的导数关系

如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导。

参考资料来源：百度百科-反函数

简单计算一下即可，答案如图所示

“求函数y=(e^x-e^(-x))/2的反函数?”.解法如下.
∵y=(e^x-e^(-x))/2 ==>2y=e^x-e^(-x)
==>2ye^x=e^(2x)-1
==>e^(2x)-2ye^x=1
==>e^(2x)-2ye^x+y²=1+y²
==>(e^x-y)²=1+y²
==>e^x-y=±√(1+y²)
==>e^x=y±√(1+y²)
==>x=ln│y±√(1+y²)│
==>x=±ln│y+√(1+y²)│ (∵ln│y-√(1+y²)│=-ln│y+√(1+y²)│)
==>x=±ln(y+√(1+y²)) (∵y+√(1+y²)>0)
∴原函数的反函数是 x=±ln(y+√(1+y²)).

y=1/2（e^x-e^-x）
2y*e^x=e^2x-1
e^2x-2y*e^x+y^2=y^2+1
(e^x-y)^2=y^2+1
e^x=y+√（y^2+1)
x=ln[y+√（y^2+1)]
交换x，y
y=ln[x+√（x^2+1)]

y=1/2（e^x-e^-x）的反函数
y=ln[x+√（x^2+1)]