如何理解“可导必连续，连续不一定可导”？

2025-02-25 17:30:35

推荐回答（5个）

回答1：

理解：

“可导必连续”：可以导的函数的话，如果确定一点那么就知道之后一点的走向，不会有突变。

“连续不一定可导”：连续不可导的话，像尖的顶点，那一个点是不可导的。

扩展资料：

在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。

在当时，由于函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，这个猜想是正确的。

但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。

我们知道，经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形，但是自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形，它们都具有上面所述的“自相似性”。如云彩的边界；山峰的轮廓；

奇形怪状的海岸线；蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等。这些变化无穷的曲线，虽然处处连续，但可能处处不可导。

因此“分形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛应用前景的新的学科。

回答2：

可导一定连续,连续不一定可导

证明：

设y=f(x)在x0处可导,f'(x0)=A

由可导的充分必要条件有

f(x)=f(x0)+A(x-x0)+o（│x-x0│）

当x→x0时,f(x)=f(x0)+o（│x-x0│）

再由定理：当x→x0时,f(x)→A的充分必要条件是f(x)=A+a(a是x→x0时的无穷小）得,limf(x)=f(x0)。

扩展资料：

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数不是在定义域上处处可导。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

参考资料：可导_百度百科

回答3：

这里△y为0说明，函数因变量y在该点变化量为0，所以，可导一定连续，函数连续时，左右导数极限可能不存在，也可能不相等，所以连续不一定可导。

扩展内容：

连续与可导的关系：
1. 连续的函数不一定可导；
2. 可导的函数是连续的函数；
3.越是高阶可导函数曲线越是光滑；
4.存在处处连续但处处不可导的函数。
左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限(左右极限都存在)。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。

有关定义：
1. 可导：是一个数学词汇，定义是设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x_0处存在导数y'=f'(x),则称y在x=x_0处可导。
2. 连续：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义。如果当自变量Δx趋向于0时。相应的函数改变量Δy也趋向于0，则称函数y=f(x)在点x0处连续。
若只考虑实变函数，那么要是对于一定区间上的任意一点，函数本身有定义，且其左极限与右极限均存在且相等，则称函数在这一区间上是连续的。
连续分为左连续和右连续。在区间每一点都连续的函数，叫做函数在该区间的连续函数。

回答4：

　　可导一定连续,连续不一定可导
证明：可导一定连续
设y=f(x)在x0处可导,f'(x0)=A
由可导的充分必要条件有
f(x)=f(x0)+A(x-x0)+o（│x-x0│）
当x→x0时,f(x)=f(x0)+o（│x-x0│）
再由定理：当x→x0时,f(x)→A的充分必要条件是f(x)=A+a(a是x→x0时的无穷小）得,limf(x)=f(x0)

回答5：

就像路口停着一排小黄车，连续不一定可倒（可能距离比较远），但是可倒一定是连续的。

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