我跟原来的公司签订的劳动合同没解除，社保也没有停，我还能不能跟其他公司签劳动合同

不能。应该和原来的公司协商解除劳动合同后，才可以与其他公司签订劳动合同。员工与原公司未解除劳动合同，又与新公司签订劳动合同的，将要承担以下后果：同时签订两份劳动合同，任何一方公司有权终止劳动合同。并且，未先行解除劳动合同的公司，也可以据此主张终止劳动关系。新签劳动合同后，给原公司造成损失的需要赔偿。
法律分析
因为员工先后签订两份合同，会给原公司安排工作等带来经济损失，原公司可以根据相关证据予以追偿，同时要求新公司承担相应的赔偿责任。并且，员工辞急工给公司造成损失的，应当给予赔偿，赔偿数额可以是一个月的工资。实际中，员工找到新的公司之后，还是要先跟原公司解除劳动合同，并且是根据以下规定：跟公司协商，提前三十日以书面形式通知公司。其实一般员工找到下一家公司后，新公司会先确定员工是否有其他的劳动关系，所以一般情况下是不会造成同时存在两份劳动合同的局面。并且，为避免被原公司请求赔偿，建议也要遵守规定，按法定程序解除劳动合同。劳动者有解除劳动合同的权利，只要提前通知，就可以解除。用人单位就不是这样了，要解除劳动合同，就要符合法律的规定，否则将会产生严重后果。如果被认定为非法解除，将要支付赔偿金，赔偿金是经济补偿金的两倍。有些劳动者还有可能要求继续履行合同。
法律依据
《中华人民共和国劳动合同法》
第九十一条 用人单位招用与其他用人单位尚未解除或者终止劳动合同的劳动者，给其他用人单位造成损失的，应当承担连带赔偿责任。
第三十九条 劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；（二）严重违反用人单位的规章制度的；（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；（六）被依法追究刑事责任的。

可以签订，但是你必须和新单位说好一个月之后到岗，因为新劳动法明文规定：企业职工辞职需提前30天提交辞职申请报告，30日内企业未批准辞职的合同关系也一样取消。也就是说你打辞职报告期间企业未同意的你要继续上班，过了30天就可以去新单位上班，而且原单位的工资待遇社保也不能少你的，否则可以去当地劳动局仲裁的。
一般情况下你提出辞职了企业都会让你离职的不会为难你的

国家不禁止建立双重劳动关系。
能否保留现劳动合同的同时，和其他公司签订劳动合同，要看你的现单位和对方单位的内部规定。
有一方禁止，都不太合适。