解: 二次型的矩阵A=
2 -1 -1
-1 2 -1
-1 -1 2
|A-λE| = -λ(λ-3)^2
所以A的特征值为 3,3,0
(A-3E)X=0的基础解系为 a1=(1,-1,0)^T,a2=(1,1,-2)^T [正交]
AX=0的基础解系为 a3=(1,1,1)^T
单位化得
b1=(1/√2,-1/√2,0)^T,b2=(1/√6,1/√6,-2/√6)^T,b3=(1/√3,1/√3,1/√3)^T
令Q=(b1,b2,b3)=
1/√2 1/√6 1/√3
-1/√2 1/√6 1/√3
0 -2/√6 1/√3
则Q是正交矩阵, X=QY是正交变换,
且f=3y1^2+3y2^2.
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