（Ⅰ）解：由Sn＝2an?2n+1，
得Sn?1＝2an?1?2n（n≥2）…（2分）
两式相减，得an＝2an?2an?1?2n，
即an?2an?1＝2n（n≥2）
于是
?an 2n
＝1，所以数列{an?1 2n?1
}是公差为1的等差数列…..…．（3分）an 2n
又S1＝2a1?22，所以a1=4．
所以
＝2+(n?1)＝n+1，an 2n
故an＝(n+1)?2n．…．（5分）
（Ⅱ）证明：令g(x)＝ln(x+1)?
(x＞0)，x x+1
则g′(x)＝
?1 x+1
＝1 (x+1)2
＞0，（7分）x (x+1)2
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，
g（x）＞g（0）=0，
即当x＞0时，ln(x+1)＞
…．（9分）x x+1
（Ⅲ）证明：因为cn＝(?1)n+1?
，1 n
所以当n≥2时，T2n＝1?
+1 2
?1 3
+…+1 4
?1 2n?1
1 2n
=(1+
+1 2
+…+1 3
)?2(1 2n
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