15问答网 > 数列{an}的前n项和为sn，sn=2an-3n（n∈N*）．（1）求证数列{an+3}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公

数列{an}的前n项和为sn，sn=2an-3n（n∈N*）．（1）求证数列{an+3}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公

2025-01-21 08:51:44

推荐回答（1个）

回答1：

证明：（1）：因为S_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
则a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，

an+1+3

an+3

＝2，
数列{a_n+3}是等比数列，
解：（2）由（1）知数列{a_n+3}是等比数列
又a₁=S₁=3，a₁+3=6，
∴a_n+3=6?2^n-1=3?2ⁿ，
所以a_n=3?2ⁿ-3．
（3）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差数列，则2a_p=a_s+a_r，即2（3?2^p-3）=3?2^s-3+3?2^r-3
即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s为偶数，而1+2^r-s为奇数，
所以2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在满足条件的三项