第一步先看 积分区域
如果积分区域有对称性，那就取它们共同对称的交集
z = √(x² + y²)，关于 x轴 和 y轴 都是对称的
而x² + y² = 2ax ==> (x - a)² + y² = a²，只是关于 x轴 对称
于是可用它们共同的对称点，就是关于 x轴 对称
第二步看被积函数的 奇偶性
既然积分关于关于 x轴 对称，有以下性质：
当f(y)为奇函数，∫(- b→b) f(y) dy = 0
当f(y)为偶函数，∫(- b→b) f(y) dy = 2∫(0→b) f(y) dy
先看xy，把x当常数时，y就是奇函数
所以∫∫Σ xy dS = 0
再看yz
∫∫Σ yz dS = ∫∫Σ y√(x² + y²) dS，y√(x² + y²)关于y也是奇函数
于是 = 0
后看z
∫∫Σ z dS = ∫∫Σ √(x² + y²) dS，√(x² + y²)关于y是偶函数
于是 = 2∫∫Σ₁ √(x² + y²) dS，其中Σ₁是Σ在第一挂限的部分
= 2∫∫D₁ √(x² + y²) * √[1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²] dxdy，D₁是D在第一挂限的部分，即Σ₁在xy面的投影
= 2∫∫D₁ √(x² + y²) * √2 dxdy、D₁：x² + y² ≤ 2ax、x ≥ 0
= 2√2∫(0→π/2) dθ ∫(0→2acosθ) r² dr
= 2√2∫(0→π/2) r³/3 ]：(0→2acosθ) dθ
= (2/3)√2∫(0→π/2) 8a³cos³θ dθ
= (16/3)√2a³ * 2/(3 * 1)
= (32/9)√2a³ = 原式
利用对称性往往能有效解决如∫(0→π/2) sinⁿx dx 或 ∫(0→π/2) cosⁿx dx等麻烦的算式
轮换对称性的要求更高
首先「积分区域」要是关于「三个」坐标面都是「对称」的
然后是「被积函数」，任意对调其中两个函数的位置，也对原式没有任何改变
也包括了偶函数的性质
即f(x，y，z) = f(y，z，x) = f(z，x，y)
例如通常的 积分区域 球体 x² + y² + z² = R²，关于三个坐标面都是对称的 或者 正方体 八面体 等
被积函数x² + y² + z²、x²y²z²
那么∫∫Σ f(x，y，z) dS = 8∫∫Σ₁ f(x，y，z) dS，在第一挂限的积分
具体一个题目吧，一般只涉及积分区域对称性和积分函数的对称性
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