计算曲线积分∫L(1+3x2y-2y)dx+(x3-2x)dy,其中L是从点A(1,0)按逆时针方向沿圆周x2+y2=1到达B(0,1)

再沿直线y=1+x到点E(-1,0)
2025-04-13 20:52:13
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回答1:

笨办法:
分成两部分,第一部分是那个1/4圆周,第二部分是线段。
第一部分:令x=cos(u),y=sin(u),dx=-sin(u)du,dy=cos(u)du。代入原积分式,u从0积分到Pi/2
第二部分:令y=1+x,则dy=dx。代入原积分式,x从0积分到-1(或者从-1积分到0,前面加个负号)
把两部分加起来就行了

简单办法:
可以直接验证∂P/∂y=∂Q/∂x,则积分与路径无关,直接从(1,0)沿直线积分到(-1,0)就可以了
这时y=0,dy=0。积分化简为最简单的:
∫1dx,答案是-2

回答2:

P=1+3x^2y-2y,Q=x^3-2x
Py=3x^2-2 Qx=3x^2-2
积分与路径无关,选取L1:(1,0)到(0,0)L2:(0,0)到(0,1)
∫L(1+3x2y-2y)dx+(x3-2x)dy
=∫L1(1+3x2y-2y)dx+(x3-2x)dy+∫L2(1+3x2y-2y)dx+(x3-2x)dy
=∫(0,1)(1)dx+∫(0,1)(0)dy
=1

回答3: