笨办法:
分成两部分,第一部分是那个1/4圆周,第二部分是线段。
第一部分:令x=cos(u),y=sin(u),dx=-sin(u)du,dy=cos(u)du。代入原积分式,u从0积分到Pi/2
第二部分:令y=1+x,则dy=dx。代入原积分式,x从0积分到-1(或者从-1积分到0,前面加个负号)
把两部分加起来就行了
简单办法:
可以直接验证∂P/∂y=∂Q/∂x,则积分与路径无关,直接从(1,0)沿直线积分到(-1,0)就可以了
这时y=0,dy=0。积分化简为最简单的:
∫1dx,答案是-2
P=1+3x^2y-2y,Q=x^3-2x
Py=3x^2-2 Qx=3x^2-2
积分与路径无关,选取L1:(1,0)到(0,0)L2:(0,0)到(0,1)
∫L(1+3x2y-2y)dx+(x3-2x)dy
=∫L1(1+3x2y-2y)dx+(x3-2x)dy+∫L2(1+3x2y-2y)dx+(x3-2x)dy
=∫(0,1)(1)dx+∫(0,1)(0)dy
=1