15问答网 > 设三角形ABC内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且π⼀4<B<π⼀2，acosB-bcosA=3c⼀5.则tan2B(tanA)^3的值？

设三角形ABC内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且π⼀4<B<π⼀2，acosB-bcosA=3c⼀5.则tan2B(tanA)^3的值？

则tan2B(tanA)^3的最大值是多少？

2025-01-21 06:27:07

推荐回答（1个）

回答1：

正弦定理：
sinAcosB-sinBcosA=(3/5)sinC
=(3/5)(sinAcosB+sinBcosA)

(2/5)sinAcosB=(8/5)sinBcosA即sinAcosB=4sinBcosA
所以tanA=4tanB

再用三角函数打太麻烦，设tanB=x，tanA=4x，x>1【由π/41】

tan2B(tanA)³=[2x/(1-x²)]64x³
=128(x²)²/(1-x²)

再设x²=y，y>1
tan2B(tanA)³=128y²/(1-y)=128(y²-2y+1+2y-2+1)/(1-y)=128[(1-y)-2+1/(1-y)]

再设1-y=-m，m>0
tan2B(tanA)³=-128(m+1/m+2)

∵m>0，∴m+1/m≥2

所以 tan2B(tanA)³=-128(m+1/m+2)≤-512

所以tan2B(tanA)³最大值为-512