数列｛an｝满足a1=1，a2=2，an+2=[1+cos05（nπ⼀2）]an+sin05（nπ⼀2），n=1，2，3…

（1）、an+2=[1+cos�0�5（nπ/2）]an+sin�0�5（nπ/2），n∈N
因为cosnπ=2cos�0�5（nπ/2）-1=1-sin�0�5（nπ/2），
所以an+2=[1+cos�0�5（nπ/2）]an+sin�0�5（nπ/2），n∈N变形为
an+2=[1+1/2+1/2cosnπ]an+1/2-1/2cosnπ=1/2[(3+cosnπ)+(1-cosnπ)]，n∈N
当n为奇数时cosnπ=-1，可得an+2=1/2[(3+cosnπ)an+(1-cosnπ)]=an+2 n为奇数
此时为等差数列an=（n+1）/2
当n为偶数时cosnπ=1，可得an+2=1/2[(3+cosnπ)an+(1-cosnπ)]=2an n为偶数
此时为等比数列an=2^(n/2) （也就是根号二的n次幂）
所以通向公式为an=（n+1）/2 （n为奇数），an=2^(n/2) （n为偶数）
所以a3=（3+1）/2=2，a4=2^(4/2) =4

（2）、bn=a2n-1/a2n=[（2n-1+1）/2]/[2^(2n/2)]=n/2^n n∈N
Sn=1*(1/2)+2*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n
(1/2)*Sn=1*(1/2)^2+……+(n-1)*(1/2)^n+n*(1/2)^(n+1)
相减
1/2Sn=Sn-1/2Sn=1*(1/2)+1*(1/2)^2+……+(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1)
=(1/2)*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-n*(1/2)^(n+1)
=1-(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1)
所以Sn=2-2*(1/2)^n-n*(1/2)^n
=2-(n+2)*(1/2)^n
丨Sn-2丨=|2-(n+2)*(1/2)^n-2|=(n+2)*(1/2)^n
因为Sn是减函数,所以只要证明最大的成立则全成立
即S6成立则Sn也成立
S6=(n+2)*(1/2)^n=6/64<6/36<1/6
所以丨Sn-2丨＜1/n成立
PS:也可用数学归纳法,此处从略!
不懂可追问

(1)因为a1＝1，a2＝2，
所以a3＝(1＋cos2π2)a1＋sin2π 2＝a1＋1＝2，
a4＝(1＋cos2π)a2＋sin2π＝2a2＝4.
当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k＋1＝[1＋cos22k－1π2]a2k－1＋sin22k－1π 2＝a2k－1＋1， 即a2k＋1－a2k－1＝1. 所以a2k－1＝k.
当n＝2k(k∈N*)时，a2k＋2＝1＋cos22kπ2a2k＋sin22kπ 2＝2a2k. 所以a2k＝2k. 故数列{an}的通项公式为 an ＝n＋1 2 n＝2k－1k∈N* 2n 2 n＝2kk∈N* 

(2)由(1)知，bn＝a2n－1a2n＝n2n， Sn＝12＋222＋323＋…＋n 2 n，①
2Sn＝122＋223＋324＋…＋n 2 n＋1，②
①－②得，12Sn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1 ＝121－12n1－12－n2n＋1＝1－12n－n2n＋1. 所以Sn＝2－ 1 2 n－1－n2n＝2－ n＋2 2n .

要证明当n≥6时，|Sn－2|<1 n成立，只需证明当n≥6时，nn＋22n<1成立．
(1)当n＝6时，6×6＋226＝4864＝3 4 <1成立．
(2)假设当n＝k(k≥6)时不等式成立，
即kk＋22k<1.则当n＝k＋1时，k＋1k＋32k＋ 1 ＝kk＋2 2k× k＋1k＋32kk＋2<k＋1k＋3 k＋2·2k <1，
由(1)、(2)所述可知，当n≥6时，nn＋22n<1. 即当n≥6时，|Sn－2|<1 n 成立

题目中的问号是什么？？