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用均值不等式解题

n是正整数,求y=(sinx)^2n+(cosx)^2n的值域

2024-12-20 19:12:20

推荐回答（4个）

回答1：

解答：

用均值不等式只能求出最小值，但无法求最大值，

（最大值为1，过程略）

最小值过程如下：

最小值为1/2^(n-1)

回答2：

解答：
sin²x+cos²x=1
设 sin²x=1/2+t, cos²x=1/2-t, 则t∈[-1/2,1/2]
∴ y=(sinx)^2n+(cosx)^2n
=(1/2+t)^n+(1/2-t)^n
利用二项式定理展开
=2*[(1/2)^n+C(n,2)(1/1)^(n-2)*t²+........]
≥2*(1/2)^n
=(1/2)^(n-1)
又 0≤sin²x≤1,0≤cos²x≤1
则 (sin²x)^n≤sin²x，(cos²x)^n≤cos²x
∴ (sinx)^2n+(cosx)^2n≤sin²x+cos²x=1
∴ 值域是[(1/2)^(n-1),1]

回答3：

=(sinx)^2n+(cosx)^2n>=2*sinx*cosx=sin2x
所以y∈[-1,1]

回答4：

那一道题啊