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用数学归纳法证明1+1⼀2+1⼀3+1⼀4=+1⼀2n次方-1小于等于n

2024-11-18 21:08:23

推荐回答（2个）

回答1：

1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2^n-1)<=n?
证明：
（1）当n=1时，1/(2^1-1)<=1 成立；
（2）当n=2时，1+1/2+1/3<=2,也成立；
假设n=k时不等式成立，即：1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2^k-1)<=k
则n=k+1时，1+1/2+1/3+1/4+...+1/[2^(k+1)-1]=1+1/2+1/3+1/4+...+1/[2*2^k-1]
={1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2^k-1)}+{1/2^k+...+1/[2*2^k-1]}
<=k+{1/2^k+1/2^k+...+1/2^k}=k+(1/2^k)*2^k=k+1.
(后面这个大括号里面有2*2^k-1-2^k+1=2^k个1/2^k，不等式是因为每项的分母都比左侧后面的大括号里的小，倒数反而大)。
于是当n=k+1时，1+1/2+1/3+1/4+...+1/[2^(k+1)-1]<=k+1，
即：1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2^n-1)<=n在n=k+1时也成立。
原问题得证。

回答2：

题目没看明白+1/2n次方-1是什么意思