15问答网 > 设x1,x2,x3......xn都是正数,求证:x1^2⼀x2+x2^2⼀x2+......+xn-1^2⼀xn+xn^2⼀x1>=x1+x2+x3+......+xn.

设x1,x2,x3......xn都是正数,求证:x1^2⼀x2+x2^2⼀x2+......+xn-1^2⼀xn+xn^2⼀x1>=x1+x2+x3+......+xn.

2024-11-09 00:42:57

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回答1：

最直接的就是用Cauchy不等式得:
(x2+x3+...+xn+x1)(x1^2/x2+x2^2/x3+...+x(n-1)^2/xn+xn^2/x1)
≥ (x1+x2+...+x(n-1)+xn)^2.
两边除以x2+x3+...+xn+x1 = x1+x2+...+x(n-1)+xn即得.

也可以用均值不等式局部放缩:
x1^2/x2+x2 ≥ 2x1,
x2^2/x3+x3 ≥ 2x2,
...
x(n-1)^2/xn+xn ≥ 2x(n-1),
xn^2/x1+x1 ≥ 2xn.
相加整理即得.