代数基本定理

首先你要知道Liouville定理。任何在整个复平面解析的复变函数都是有界的。
也就是，如果f(z)在整个复平面每个点都解析，又是有界的，则存在M such that
|f(z)| ≤ M, ∀z ∈ C.

接下来设 p(z)=anz^n +an−1z^n−1···+a0 =0 ，其中pz是任何一个多项式，

设他没复根。也就是不存在z，使得p(z)=0。

则他的倒数是整个复平面解析的。

明显z无穷时 |1/p(z)|趋近于0。
因此 对于任何ε>0, 都有R，使得 |1/p(z)| < ε, ∀z : |z| > R.

又因为1/pz是连续的，因此对于这个R，存在一个正常数M，使得
|1/p(z)|≤M, ∀ z: |z|≤R

因此|1/p(z)|≤ max{ε, M}。因此有界。根据Liouville，他是常数，但显然1/p(z)不是常数，矛盾。
因此他有复根。

代数学基本定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根n大于等于1，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根，重根按重数计算。代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。