如图，在三角形ABCD中,D是AC的中点，E.F是BC的三等分点,AE.AF分别交BD于M.N两点，则BM:MN:ND ?

证明：如图，连DF 

     ∵ CD=DA,  CF=FE 

    ∴ DF∥AE  且 DF=(1/2)*AE (三角形的中位线定理)

又 ∵ BE=EF，ME∥DF

 ∴ BM=MD  且 DF=2ME

   设，ME=k ,  则，DF=2k, AE=4k, AM=AE-ME=3k

     由 DF∥AE  即：DF∥AM 

   ∴MN/ND=AM/DF=3/2   ∴MN/MD=3/5 即：MD/MN=5/3 

  由上面证得： BM=MD 

   ∴BM/MN=5/3

  ∴ BM:MN:ND=5:3:2

直线AF交三角形BCD的BC、CD的延长线、DB与F、A、N三点
根据梅内劳斯定理得：(BF/FC)*(CA/AD)*(DN/NB)=1
得DN/NB=1 / (BF/FC)(CA/AD)=1/4,即ND=1/5 BD，BN=4/5 BD

直线BD交三角形AFC的AF、CF的延长线、CA与N、B、D三点
根据梅内劳斯定理得：(AN/NF)*(FB/BC)*(CD/DA)=1
得AN/NF=1 / (FB/BC)(CD/DA)=3/2,即N为AF的3/5点

直线AE交三角形BFN的BF、FN的延长线、NB与E、A、M三点
根据梅内劳斯定理得：(BE/EF)*(FA/AN)*(NM/MB)=1
得NM/MB=1 / (BE/EF)(FA/AN)=3/5,即NM=3/8 BN = 3/10 BD，BM=5/8 BN = 5/10 BD

BM:MN:ND =(5/10 BD):(3/10 BD):(1/5 BD)=5:3:2

连接DF，因为D是AC的中点，E.F是BC的三等分点，则DC/AD=FC/EF=1
所以DF∥AE，△BME∽△BDF，所以BE/BF=BM/BD=ME/DF=1/2，BM=MD
△CDF∽△CAE，所以AE/DF=AC/DC=2
△DNF∽△MNA，所以MN/ND=AM/DF=(AE-ME)/DF=2-1/2=3/2
MD：MN：ND=5：3:：2
所以BM:MN:ND =5:3:2