微分方程求解： y+y✀=e^(x-1) 其中y(1)=1,y✀(1)=0.

设y'+y=0,
dy/dx=-y,
dy/y=-dx,
lny=-x+lnC1,
y=C1e^(-x),
令y=v*e^(-x),
dy/dx=(dv/dx)e^(-x)-ve^(-x),(1)
y+y'=e^(x-1),(2)
由(1)代入(2),
(dv/dx)e^(-x)-ve^(-x)+v*e^(-x)=e^(x-1),
dv/dx*e^(-x)=e^(x-1),
dv/dx=e^(2x-1),
v=(1/2)∫e^(2x-1)d(2x-1)
v=(1/2)*e^(2x-1)+C,
y=[(1/2)*e^(2x-1)+C]*e^(-x)
=(1/2)*e^(x-1)+C*e^(-x),
x=1时,y(1)=1/2+C/e=1,
C=e/2,
∴微分方程在y(1)=1时特解为:y=(1/2)e^(x-1)+(1/2)e^(1-x)
y=(1/2)[e^(x-1)+e^(1-x)].

这个一次非齐次方程可以直接由公式求得
y(x)=e^(-∫dx)*[C+∫e^(∫dx)e^(x-1)dx]=e^(-x)*[C+∫(e^x)e^(x-1)dx]=e^(-x)*[C+∫e^(2x-1)dx]=e^(-x)*[C+(1/2)e^(2x-1)]=Ce^(-x)+(1/2)e^(x-1)
因为y(1)=1，y'(1)=0，所以C=e/2
所以微分方程的解为：y(x)=[e^(1-x)+e^(x-1)]/2