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(x+y)^n的展开公式

2025-01-20 01:54:09

推荐回答（5个）

回答1：

(x+y)^n=x^n+C(n,1)*x^(n-1)*y+C(n,2)*x^(n-2)*y^2+.....+C(n,n)*y^n。

解：根据二项式定理，

其中 (n,k)=n!/(k!*(n-k)!)=C(n,k)。

所以(x+y)^n的展开式为，

(x+y)^n=C(n,0)*x^n*y^0+C(n,1)*x^(n-1)*y^1+C(n,2)*x^(n-2)*y^2+...+C(n,k)*x^(n-k)*y^k+...+C(n,n)*x^(n-n)*y^n

即(x+y)^n=x^n+C(n,1)x^(n-1)y+C(n,2)x^(n-2)y²+.....+C(n,n)y^n。

扩展资料：

二项式定理的验证推导

当n=1时，则(a+b)^1=C(1,0)*a^1*b^0+C(1,1)*a^0*b^1=a+b。

假设二项展开式在n=m时成立。

设n=m+1，则有，

(a+b)^(m+1)=a*(a+b)^m+b*(a+b)^m

=a*(a^n+C(m,1)a^(m-1)b+.....+C(m,m)b^m)+b*(a^m+C(m,1)a^(m-1)*b+.....+C(m,m)b^m)

=a^(m+1)+C(m,1)a^m*b+.....+C(m,m)a*b^m+a^m*b+C(m,1)a^(m-1)b^2+.....+C(m,m)b^(m+1)

=C(m+1,0)*a^(m+1)+C(m+1,1)*a^m*b+C(m+1,2)*a^(m-1)*b^2+...+C(m+1,m)*a*b^n+C(m+1,m+1)b^(m+1)

因此可推知(a+b)^n=a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+.....+C(n,n)*b^n。

参考资料来源：百度百科-二项式定理

回答2：

(x+y)^n=∑(k=0,n)C(n,k)*x^k*y^(n-k)

C(n，k)表示从n个中取k个的组合数。

性质：

（1）项数：n+1项。

（2）第k+1项的二项式系数是 C(n,k)。

（3）在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等。

（4）如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大。如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的的二项式系数最大，并且相等。

扩展资料：

二项式定理最初用于开高次方。在中国，成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。11世纪中叶，贾宪在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”，满足了三次以上开方的需要。此图即为直到六次幂的二项式系数表，但是，贾宪并未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理。

在阿拉伯，10世纪，阿尔 ·卡拉吉已经知道二项式系数表的构造方法：每一列中的任一数等于上一列中同一行的数加上该数上面一数。11~12世纪奥马海牙姆将印度人的开平方、开立方运算推广到任意高次，因而研究了高次二项展开式。13世纪纳绥尔丁在其《算板与沙盘算法集成》中给出了高次开方的近似公式，并用到了二项式系数表。

回答3：

(x+y)^n=x^n+C(n,1)x^(n-1)y+C(n,2)x^(n-2)y²+.....+C(n,n)y^n

（1）选取性，二项式的两项怎样选取 (各取几个) 才能构成所求的项；

（2）有序性，的展开式第项是取个 (同时取个 )，这里的和不能互换