如何证明limn→∞(1+1⼀n+1⼀n^2)^n=e

利用 1+1/n=<1+1/n+1/n^2<=1+1/n+1/n^2+1/n^3+...+1/n^n=[1-(1/n)^n]/(1-1/n)<=1/(1-1/n)=n/n-1=1+1/(n-1) [n>=2]
用夹逼定理
limn→∞(1+1/n)^n=e
limn→∞(1+1/(n-1))^n=limn→∞[(1+1/(n-1))^(n-1)]*(1+1/(n-1))=elimn→∞(1+1/(n-1))=e
左右都等于e.因此得证

limn→∞(1+1/n+1/n^2)^n=limn→∞[(1-1/n³)^n/[(1-1/n)^(-n)(-1)]=limn→∞[(1-1/n³)^n/e^(-1)，1/n³→0，等价无穷小替换原则x→0,(1+x)^a-1→ax，则(1-1/n³)^n-1→-1/n²，原式limn→∞(1+1/n+1/n^2)^n=e(1-1/n²)=e.

利用 1+1/n=<1+1/n+1/n^2<=1+1/n+1/n^2+1/n^3...=1/(1-1/n)=n/n-1=1+1/(n-1) [n>=2]
所以 用夹逼定理
limn→∞(1+1/n)^n=左右都等于e.因此得证