怎么用积分方法证明圆面积公式?

以单位圆为例，用换元法：

S=4∫(1-x^2)^(1/2)*dx

=4∫(1-sint*sint)^(1/2)*d(sint)(t从0到π/2)

=4∫cost*cost*dt

=∫[1+cos(2t)]*d(2t)

=∫du+∫cosu*du(u从0到π)

=π+(sinπ-sin0)

=π，即单位圆的面积

勒贝格积分

勒贝格积分的出现源于概率论等理论中对更为不规则的函数的处理需要。黎曼积分无法处理这些函数的积分问题。因此，需要更为广义上的积分概念，使得更多的函数能够定义积分。

同时，对于黎曼可积的函数，新积分的定义不应当与之冲突。勒贝格积分就是这样的一种积分。 黎曼积分对初等函数和分段连续的函数定义了积分的概念，勒贝格积分则将积分的定义推广到测度空间里。

勒贝格积分的概念定义在测度的概念上。测度是日常概念中测量长度、面积的推广，将其以公理化的方式定义。黎曼积分实际可以看成是用一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方的图形，而每个矩形的面积是长乘宽，或者说是两个区间之长度的乘积。

测度为更一般的空间中的集合定义了类似长度的概念，从而能够“测量”更不规则的函数曲线下方图形的面积，从而定义积分。在一维实空间中，一个区间A= [a,b] 的勒贝格测度μ(A)是区间的右端值减去左端值，b−a。

这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容。在更复杂的情况下，积分的集合可以更加复杂，不再是区间，甚至不再是区间的交集或并集，其“长度”则由测度来给出。

以单位圆为例,积第一象限,用换元法:∫(1-x^2)^(1/2)*dx=∫(1-sint*sint)^(1/2)*d(sint)(t从0到π/2)=∫cost*cost*dt=0.25*∫[1+cos(2t)]*d(2t)=0.25*∫du+0.25*∫cosu*du(u从0到π)=0.25π+0.25*(sinπ-sin0)=0.25π算四个象限就变成π,即单位圆的面积.

把圆从圆心到圆上平均分几份(越多越想长方形)拼在一起,就近是长方形了，长方形的高等于圆的半经．
所以圆面积等于：
S圆＝3．14乘高

以单位圆为例,积第一象限,用换元法:
∫(1-x^2)^(1/2)*dx
=∫(1-sint*sint)^(1/2)*d(sint)(t从0到π/2)
=∫cost*cost*dt
=0.25*∫[1+cos(2t)]*d(2t)
=0.25*∫du+0.25*∫cosu*du(u从0到π)
=0.25π+0.25*(sinπ-sin0)
=0.25π
算四个象限就变成π,即单位圆的面积.

在xy平面上写出圆方程:x^2+y^2=r^2

然后在第一象限内积分

于是y = 根号下的 (r^2-x^2)

x从零积分到 r

这个积分可以从积分表上查,或者可以用换元法比较容易的算出

这个积分值的4倍就是圆面积,这也利用了定积分的定义.