奇完全数的一般式

2025-02-23 18:40:57

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回答1：

这是一个著名的定理，欧拉证明的。
写的不完全，还有2个条件：p是4n+1型的奇素数，Q与p互质。

证明其实不难，就是写起来挺长。
设N为我们所说的奇完全数，N的质因数分解为：
N= p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an
我们记S(N)为N的所有因子之和，N为完全数，所以 S(N) = 2N

首先一个引理，很简单，自己想想就行：
S(N) = S(p1^a1) * S(p2^a^2) * ... * S(pn^an)

第1步：证明除了a1是奇数外，其它的指数a2, ..., an都是偶数。
这样一来，后面的部分 p2^a2 * ... * pn^an 就是个完全平方数了，就可以把它当成Q^2
证明很简单。
因为S(N) = 2N，也就是说，S(N)能被2整除，但不能被4整除。
所以，根据引理，S(p1^a1)，S(p2^a2)，...，S(pn^an) 中只有1个是偶数，其它都是奇数。
设S(p1^a1) 是偶数，而其它的S(p2^a2)，...，S(pn^an) 都是奇数。
考察 S(p^a)
S(p^a) = 1 + p + p^2 + ... + p^a
等式右边一共a+1项，每一项都是奇数。
因为我们要 S(p^a) 是奇数，所以等式右边一定有奇数项，也就是 a 必须是偶数。
第1步证完了。

第2步：证明p1是4n+1型质数。
作为质数，p1只有2种选择：4n+1型，和4n+3型。
假设p1是4n+3型
为了简单，记p1为p，a1为a，省略脚标。
S(p1^a1) = S(p^a) = 1 + p + p^2 + ... + p^a
第1项：1为4n+1型
第2项：p为4n+3型
第3项：p^2为4n+1型
第4项：p^3为4n+3型
...
可以看出，各项交替为4n+1型和4n+3型，所以相邻2项相加能被4整除。
所以，最后的和 S(p^a) 能被4整除。
矛盾——我们上面说过，它只能被2整除，不能被4整除。
第2步证完了。

第3步：证明a是4n+1型的。
S(p^a) = 1 + p + p^2 + ... + p^a
由于p是4n+1型的，所以易证：等式右边每一项都是4n+1型的。
a是奇数，只有2种选择：4n+1型或者4n+3型。
假设a是4n+3型，那么等式右边一共有4n+4项。
4n+4个4n+1型奇数的和，又能被4整除了，所以又矛盾了。
所以，a只能也是4n+1型的。
终于全证完了。

回答2：

目前没有发现奇完全数
但也不能证明奇完全数不存在

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