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窗函数法FIR低通数字滤波

2024-10-31 04:41:41

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回答1：

1.FIR数字滤波器原理

假设理想低通滤波器的截止频率为ω_c＝2πf_c，且具有线性相位，群延时为a，即频率响应：

航空重力勘探理论方法及应用

表示成幅度函数和相位函数形式：

航空重力勘探理论方法及应用

则幅度函数：

航空重力勘探理论方法及应用

在通带范围｜ω｜ ≤ω_c（截止频率）内H_d（e^jω）的幅度为1，相位为－ωα；对应的时间域（或空间域）滤波函数为：

航空重力勘探理论方法及应用

有限脉冲响应FIR（Finite Impulse Response）数字滤波器要求用有限长的单位冲击响应h（n）来逼近无限长的理想滤波器的单位冲击响应h_d（n），最常用和有效的方法就是用一个有限长（长度为N）的“窗函数”序列w（n）来截取h_d（n）的主要成分（陈玉东，2005）：

航空重力勘探理论方法及应用

实际上是用有限长的h（n）去逼近h_d（n），通过这种方式得到的频率响应H（e^jω）近似于理想频率响应H_d（e^jω）（在频率域内采用均方差最小准则逼近）。按照线性相位滤波器的约束要求，h（n）必须是偶对称的，其对称中心应为它长度的一半：h（n）=h（N-1-n），而且

；所以同时要求窗函数w（n）也必须是关于中心偶对称：w（n）=w（N-1-n）。

2.几种常见窗函数

（1）矩形窗

长度为N的矩形窗函数为：

航空重力勘探理论方法及应用

（2）三角形窗（Bartlett）

长度为N的三角形窗函数为：

航空重力勘探理论方法及应用

（3）汉宁窗（Hanning）

长度为N的汉宁窗函数为：

航空重力勘探理论方法及应用

（4）海明窗（Hamming）

为使得旁瓣更小，可将汉宁窗改进成海明窗，长度为N的海明窗函数为：

航空重力勘探理论方法及应用

（5）布拉克曼窗（Blackman）

为进一步有效抑制旁瓣，可以再加上余弦的二次谐波分量，得到长度为N的布拉克曼窗函数为：

航空重力勘探理论方法及应用

（6）凯泽窗（Kaiser）

长度为N的凯泽窗函数为：

航空重力勘探理论方法及应用

其中I₀（x）为第一类变形零阶贝塞尔函数，α＝（N-1）/2。β是一个可自由选择的参数，它可同时调整窗函数谱主瓣宽度与旁瓣幅值；β越大，则窗函数w（n）变化越快、变得越窄，频谱旁瓣就越小，但主瓣宽度相应增加。一般选择4＜β＜9，相当于窗函数频谱旁瓣幅度与主瓣幅度的比值由3.1%变到0.047%。β＝0时相当于矩形窗（陈玉东，2005）。

3.窗函数FIR滤波器

式（7-4-3）至式（7-4-8）窗函数都满足关于中心偶对称的线性相位滤波器的约束要求，结合式（7-4-1）至式（7-4-2）可以得到相应窗函数的FIR低通数字滤波器函数（郭志宏，罗锋，等，2007）:

航空重力勘探理论方法及应用

用该滤波器窗口对时间域（或空间域）长度为M的数据序列逐点进行窗口滑动卷积求和计算（实际处理时窗口中点作为输出计算点，则一边损失半个滤波窗口数据），就可获得FIR滤波后的数据（郭志宏，段树岭，等，2009）：

航空重力勘探理论方法及应用

h（n）为滤波器系数，x（n）、y（n）分别为输入、输出数据序列。

4.窗函数FIR滤波试验

（1）GT-1A型航空重力数据

图7-4-1至图7-4-2分别为GT-1A型航空重力系统获得的一条原始未滤波、100 s和60 s滤波自由空间重力异常测线数据，其中飞机的飞行速度约60m/s，剖面图横轴为测线基准点号，基准点间距约30 m。图7-4-1中GT-1A型系统航空原始未滤波自由空间重力测线数据的高频干扰非常之严重，噪声幅度在－5 000×10^-5m·s^-2至5000×10^-5m·s^-2的大范围内变化，而幅度通常只有（10^-3～10^-4）m·s^-2的由密度和构造变化等地质因素引起的重力异常信号（图7-4-2）则完全淹没在高频干扰中。图7-4-2中GT-1A型系统航空100 s、60 s滤波自由空间重力测线数据是采用GT-1A型航空重力系统自带软件模块由图7-4-1的航空原始未滤波自由空间重力测线数据获得的滤波数据，滤波后高频干扰已基本消除，油气和矿产地球物理勘查所需的重力异常则较好的显现出来。

图7-4-1 GT-1A型航空重力系统原始未滤波自由空间重力异常

（2）几种窗函数FIR滤波试验

根据式（7-4-1）至式（7-4-10），我们研制了窗函数法FIR数字滤波计算软件，用各种窗函数FIR滤波器对图7-4-1的GT-1A航空原始未滤波自由空间重力测线数据分别进行了截止波长为100 s、60 s长度（按v=60m/s的航速计算，截止波长A。分别为6km、3.6km，按f_c=v/λ_c计算的截止频率分别为0.01 Hz、0.0167 Hz）的低通滤波试验计算，试验结果见图7-4-3至图7-4-8。为了图形对比方便，各剖面图中仍然保留了测线边部两端的半个滤波窗口数据，这些数据由于存在边部效应，因而是不准确的，实际应用时应该去掉。从试验结果图可以看到，矩形窗和三角窗FIR滤波后异常整体形状虽然也与图7-4-2类似，但其上叠加了高频扰动，尤其是矩形窗FIR滤波结果，这就是通常所说的“吉布斯”振荡效应（陈玉东，2005）。如果在图7-4-3至图7-4-4的基础上，采用空间域非线性曲率滤波方法（郭志宏，刘浩军，等，2003），用中国国土资源航空物探遥感中心的“空中探针”系统（刘浩军，薛典军，等，2003）中的滤波软件进一步处理，则可获得消除扰动后接近图7-4-2效果的异常数据。从汉宁窗、海明窗、布拉克曼窗以及凯泽窗FIR滤波试验结果看到，通过选择合适的窗口长度、截至波长等滤波参数，基本都获得了令人满意的效果。

图7-4-2 GT-1A型航空重力系统100s、60s滤波自由空间重力异常

图7-4-3 矩形窗FIR低通滤波截止波长100s、60s航空自由空间重力异常

表7-4-1为图7-4-3至图7-4-8所示的各种窗函数FIR低通滤波截止波长100 s、60 s长度航空自由空间重力异常与图7-4-2所示的GT-1A型航空重力系统100 s、60 s滤波自由空间重力异常（作为标准）的比较，通过两者之差值的统计结果来衡量吻合程度。从统计表中可以看到，除了矩形窗、三角窗外，其他几种窗函数FIR低通滤波结果的差异值都在±1×10^-5m·s^-2以内，均方差值则多数为0.3×10^-5m·s^-2左右，可见吻合程度还是比较好的。

图7-4-4 三角窗FIR低通滤波截止波长100s、60s航空自由空间重力异常

5.结论

1）通过选择合适的窗形、窗口长度、滤波参数，窗函数法FIR低通数字滤波器可以在航空重力数据的滤波处理中发挥应有的作用。

图7-4-5 汉宁窗FIR低通滤波截止波长100s、60s航空自由空间重力异常

图7-4-6 海明窗FIR低通滤波截止波长100s、60s航空自由空间重力异常

图7-4-7 布拉克曼窗FIR低通滤波截止波长100s、60s航空自由空间重力异常

图7-4-8 凯泽窗（β＝6）FIR低通滤波截止波长100s、60s航空自由空间重力异常

2）为了获得与GT-1A型航空重力系统100 s、60 s低通滤波（60m/s航速）对应的自由空间重力测线数据，所选择汉宁、海明、布拉克曼、凯泽窗的长度通常为400点（2 Hz采样率），FIR低通滤波对应的截止频率分别为0.01 Hz、0.0167 Hz。

3）窗函数法不但可以设计FIR低通滤波器，还可设计FIR高通、带通、带阻滤波器等。通常一个高通滤波器相当于一个全通滤波器减去一个低通滤波器；一个带通滤波器相当于两个低通滤波器相减；而一个带阻滤波器相当于一个低通滤波器加上一个高通滤波器。

表7-4-1 窗函数FIR滤波试验结果与GT-1A系统滤波结果的差值统计

4）除了窗函数法FIR低通滤波器，其他诸如等波纹法FIR低通滤波器、无限脉冲响应IIR低通滤波、Kalman滤波等方法（周坚鑫，刘浩军，等，2001；陈玉东，2005）均可用于航空重力数据的低通数字滤波处理中。

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