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关于重积分和曲线曲面积分的区别我有的时候分不清一个积分是曲线还是曲面积分怎么办。。求大神讲解～最

2024-12-06 21:46:15

推荐回答（1个）

回答1：

都是递进关系，从一重积分开始，只说几何意义吧。

一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x)
当被积函数为1时，就是直线的长度(自由度较大)
∫(a→b) dx = L(直线长度)
被积函数不为1时，就是图形的面积(规则)
∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积)
另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是
盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f²(x) dx
圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx
计算方法有换元积分法，极坐标法等，定积分接触得多，不详说了
∫(α→β) (1/2)[A(θ)]² dθ = A(极坐标下的平面面积)

二重积分：有两个自变量z = f(x，y)
当被积函数为1时，就是面积(自由度较大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)
当被积函数不为1时，就是图形的体积(规则)、和旋转体体积
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)
计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等
极坐标变换：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ

三重积分：有三个自变量u = f(x，y，z)
被积函数为1时，就是体积、旋转体体积(自由度最大)
∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积)
当被积函数不为1时，就没有几何意义了，有物理意义等
计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等
极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ z = z
{ h ≤ r ≤ k

{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z₁→z₂) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ
极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ
{ y = rsinφsinθ
{ z = rcosφ
{ h ≤ r ≤ k

{ a ≤ φ ≤ b、最大范围：0 ≤ φ ≤ π
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π

∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ) r²sin²φ drdφdθ

所以越上一级，能求得的空间范围也越自由，越广泛，但也越复杂，越棘手，而
且限制比上面两个都少，对空间想象力提高了。
重积分能化为几次定积分，每个定积分能控制不同的伸展方向。

又比如说，在a ≤ x ≤ b里由f(x)和g(x)围成的面积，其中f(x) > g(x)
用定积分求的面积公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx
但是升级的二重积分，面积公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被积函数变为1了

用不同积分层次计算由z = x² + y²、z = a²围成的体积？

一重积分(定积分)：向zox面投影，得z = x²、令z = a² --> x = ± a、采用圆壳法
V = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x³ dx = 2π • (1/4)[ x⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2

二重积分：高为a、将z = x² + y²向xoy面投影得x² + y² = a²
所以就是求∫∫(D) (x² + y²) dxdy、其中D是x² + y² = a²
V = ∫∫(D) (x² + y²) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r³ dr、这步你会发觉步骤跟一重定积分一样的
= 2π • (1/4)[ r⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2

三重积分：旋转体体积，被积函数是1，直接求可以了
柱坐标切片法：Dz：x² + y² = z
V = ∫∫∫(Ω) dxdydz
= ∫(0→a²) dz ∫∫Dz dxdy
= ∫(0→a²) πz dz
= π • [ z²/2 ] |(0→a²)
= πa⁴/2
柱坐标投影法：Dxy：x² + y² = a²
V = ∫∫∫(Ω) dxdydz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r²→a²) dz
= 2π • ∫(0→a) r • (a² - r²) dr
= 2π • [ a²r²/2 - (1/4)r⁴ ] |(0→a)
= 2π • [ a⁴/2 - (1/4)a⁴ ]
= πa⁴/2
三重积分求体积时能用的方法较多，就是所说的高自由度。

既然都说了这麼多，再说一点吧：
如果再学下去的话，你会发现求(平面)面积、体积比求(曲面)面积的公式容易
学完求体积的公式，就会有求曲面的公式
就是「曲线积分」和「曲面积分」，又分「第一类」和「第二类」

第一类曲线/曲面积分：
曲线积分的方程是线段
曲面积分的方程是曲面

当被积函数为1时，第一类曲线积分就是求弧线的长度，对比定积分只能求直线长度
∫(C) ds = L(曲线长度)
被积函数不为1时，就是求以弧线为底线的曲面的面积
∫(C) f(x，y) ds = A(曲面面积)

当被积函数为1时，第一类曲面积分就是求曲面的面积，对比二重积分只能求平面面积
∫∫(Σ) dS = A(曲面面积)、自由度比第一类曲线积分大
∫∫(Σ) f(x，y，z) dS，物理应用、例如曲面的质量、重心、转动惯量、流速场流过曲面的流量等

而第二类曲线积分/第二类曲面积分以物理应用为主要，而且是有"方向性"的，涉及向量范围了。

第二类曲线/曲面积分：

∫(C) Pdx + Qdy
格林公式：
∮(C) Pdx + Qdy
= ±∫∫ (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy，正向取+负向取-

第二类曲线积分的运算规则：
1：由于是有方向性的，所以有
“偶零奇倍”性质，跟一般情况相反的
2：被积函数存在奇点时，需要挖洞，设方程γ：(令半径趋向0)，方向与C相反
则∫(C) Pdx + Qdy
= ∮(C+γ) Pdx + Qdy - ∫(γ) Pdx + Qdy
然后对C+γ的积分运用格林公式即可

∫∫(Σ) Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
高斯公式：
∫∫(Σ) Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
= ±∫∫∫(Ω) (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z) dV，外侧取+内侧取-

第二类曲面积分的运算规则：
1：由于是有方向性的，所以有
“偶零奇倍”性质，跟一般情况相反的
F(x)是偶函数时，若Σ关于相应的面是对称的，一个部分取 +，一个部分取 -
结果就是F(x) - F(- x) = F(x) - F(x) = 0，两个部分互相抵消了
F(x)奇函数时，同样情况，一个部分取 +，一个部分取 -
结果就是F(x) - F(- x) = F(x) + F(x) = 2F(x)，两个部分的积分都相等，可叠加

2：三合一公式
对于Σ是z = z(x,y)形式的
法向量n = ± { - z'x，- z'y，1 }
则∫∫_(Σ) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
= ± ∫∫_(D) { P(- z'x) + Q(- z'y) + 1 } dxdy
取上/右/前侧时，取 + 号
取下/左/后侧时，取 - 号

3：高斯公式
∫∫_(Σ) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
= ± ∫∫∫_(Ω) (∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z) dxdydz
- ∫_(Σ和) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
后面(Σ和)那部分，若原本给的曲面是不能围成封闭空间的话，不能直接使用高斯公式，需要补上几个面后使得区域封闭，例如补上若干个(Σ和)曲面，就可以运用高斯公式了，还要注意最后要减少所补上那几个曲面(Σ和)相应的积分

4：挖洞
若在Σ上，被积函数上有奇点的话，也不能直接运用高斯公式
需要补上一个小空间r=ε，足以包括所有内部的奇点的，然后取半径ε趋向0
运用高斯公式时也要减去这个部分相应的积分
所以有∫∫_(Σ) = ± ∫∫∫_(Ω) - ∫∫_(ε)

5：替代
若被积函数f的方程是在Σ上，则可以优先把Σ的方程代入f中
例如给Σ方程：x²+y²+z²=a²
则∫∫_(Σ) (Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)/√(x²+y²+z²)
= ∫∫_(Σ) (Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)/a
= (1/a)∫∫_(Σ) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
于是这样，就可以避免了4：的情况，不用挖洞
去掉奇点后就可以继续补面使用高斯公式了

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