求不定积分：∫x⼀(x^2-x-2 )dx

解：∫x/(x^2-x-2 )dx

=∫x/((x-2)*(x+1))dx

=∫（2/(3*(x-2))+1/(3*(x+1))）dx

=2/3∫1/(x-2)dx+1/3∫1/(x+1)dx

=2/3ln|x-2|+1/3ln|x+1|+C

即∫x/(x^2-x-2 )dx的不定积分为2/3ln|x-2|+1/3ln|x+1|+C。

扩展资料：

1、不定积分的求解方法

（1）积分公式法

例：∫e^xdx=e^x、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C

（2）换元积分法

例：∫sinxcosxdx=∫sinxdsinx=1/2sin²x+C

2、不定积分的公式类型

（1）含ax^2±b的不定积分

∫(1/(a*x^2+b))=1/√(a*b)*arctan(√a*x/√b)+C

（2）含a+bx的不定积分

∫(1/(ax+b))=1/b*ln|ax+b|+C、∫(x/(ax+b))=1/b^2*(a+bx-aln|ax+b|)+C

（3）含x^2±a^2的不定积分

∫(1/(x^2+a^2))=1/a*arctan(x/a)+C、∫(1/(x^2-a^2))=1/(2a)*ln|(x-a)/(x+a)|+C

参考资料来源：百度百科-不定积分

不定积分∫x/(x^2-x-2 )dx的结果为2/3*ln|x-2|+1/3ln|x+1|+C。

解：因为x/(x^2-x-2)=x/((x-2)*(x+1))，

令x/((x-2)*(x+1))=A/(x-2)+B/(x+1)=(Ax+A+Bx-2B)/((x-2)*(x+1))，

可得A=2/3，B=1/3。那么，

∫x/(x^2-x-2)dx

=∫x/((x-2)*(x+1))dx

=∫(2/(3*(x-2))+1/(3*(x+1)))dx

=2/3*∫1/(x-2)dx+1/3∫1/(x+1)dx

=2/3*ln|x-2|+1/3*ln|x+1|+C

扩展资料：

1、因式分解的方法

（1）十字相乘法

对于x^2+px+q型多项式，若q可分解因数为q=a*b，且有a+b=p，那么可应用十字相乘法对多项式x^2+px+q进行因式分解。

x^2+px+q=(x+a)*(x+b)

（2）公式法

平方差公式，a^2-b^2=(a+b)*(a-b)。

完全平方和公式，a^2+2ab+b^2=(a+b)^2。

完全平方差公式，a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。

2、不定积分凑微分法

通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

例：∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C

直接利用积分公式求出不定积分。

3、不定积分公式

∫mdx=mx+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cscxdx=-cotx+C

参考资料来源：百度百科-不定积分

被积函数是分数形式一般要拆分，怎么拆必须公式要熟。

∫x/(x^2-x-2 )dx=∫x/[(x-2)(x+1)]dx=∫[1/(x+1)+2/(x-2 )(x+1)]dx

=∫[1/(x+1)+2/3*[1/(x-2 )-1/(x+1)]dx=∫[1/3(x+1)+2/3(x-2 )]dx

=1/3*ln(x+1)+2/3*ln(x-2)+C   C为常数

拆分规则：在有意义的情况下，是任何一个赋值都会满足的。

因为本身有理式的拆分就是一个恒等式求解的过程，也就是设a(x)=a(x)，那么你无论给左右两边取什么值，只要这个值在a(x)的定义域内，该等式一定成立的。

而且如果不采用赋值法的话，就直接进行同分，最后我们用到的定理叫做多项式恒等定理，效果是一样的。

扩展资料：

求不定积分法：

设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu 。

两边积分，得分部积分公式

∫udv=uv-∫vdu。 

如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v

一般来说，u,v 选取的原则是：

积分容易者选为v，求导简单者选为u。

例子：∫Inx dx中应设U=Inx,V=x

分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分。

可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。

被积函数是分数形式一般要拆分，怎么拆必须公式要熟。

∫x/(x^2-x-2 )dx=∫x/[(x-2)(x+1)]dx=∫[1/(x+1)+2/(x-2 )(x+1)]dx
=∫[1/(x+1)+2/3*[1/(x-2 )-1/(x+1)]dx=∫[1/3(x+1)+2/3(x-2 )]dx
=1/3*ln(x+1)+2/3*ln(x-2)+C C为常数

先裂项得:1/3[x/(x-2)-x/(x+1)]
对分子做改变:x-2+2，x+1-1。
然后x就被消除掉了，接着就可以直接用公式得出答案:2/3ln|x-2|-1/3ln|x+1|+C