15问答网 > 已知函数f（x）满f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+12x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若f(x)≥12

已知函数f（x）满f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+12x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若f(x)≥12

2024-12-03 12:57:52

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回答1：

（1）f(x)＝f′(1)ex?1?f(0)x+

x2?f′(x)＝f′(1)ex?1?f(0)+x
令x=1得：f（0）=1
∴f(x)＝f′(1)ex?1?x+

x2令x=0，得f（0）=f'（1）e^-1=1解得f'（1）=e
故函数的解析式为f(x)＝ex?x+

x2
令g（x）=f'（x）=e^x-1+x
∴g'（x）=e^x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增
当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有
f'（x）＜f'（0）=0得：
函数f(x)＝ex?x+

x2的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）
（2）f(x)≥

x2+ax+b?h(x)＝ex?(a+1)x?b≥0得h′（x）=e^x-（a+1）
①当a+1≤0时，h′（x）＞0?y=h（x）在x∈R上单调递增x→-∞时，h（x）→-∞与h（x）≥0矛盾
②当a+1＞0时，h′（x）＞0?x＞ln（a+1），h'（x）＜0?x＜ln（a+1）
得：当x=ln（a+1）时，h（x）_min=（a+1）-（a+1）ln（a+1）-b≥0，即（a+1）-（a+1）ln（a+1）≥b
∴（a+1）b≤（a+1）²-（a+1）²ln（a+1），（a+1＞0）
令F（x）=x²-x²lnx（x＞0），则F'（x）=x（1-2lnx）
∴F′(x)＞0?0＜x＜

，F′(x)＜0?x＞

当x＝

时，F(x)max＝

即当a＝

?1，b＝

时，（a+1）b的最大值为

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