15问答网 > 计算二重积分 (x^2+y^2)dxdy d={(x,y)|x^2+y^2<=2ax}

计算二重积分 (x^2+y^2)dxdy d={(x,y)|x^2+y^2<=2ax}

答案是3πα∧4⼀2 请把过程写详细些，谢谢啦

2025-01-13 07:05:00

推荐回答（2个）

回答1：

用极坐标求解就可以了
如果没算错的话答案是：(3πa^5)/2
其中需要用到∫（0，π/2）(sinα)^ndα 这个积分的积分公式

呵呵，上面把系数弄错了，多写了一个a
具体解答如下：
α的积分区间是【-π，π】
所以累次积分为：∫（-π，π）dα∫（0,2acosα）r^3dr=∫（-π，π）dα【1/4 * r^4】|（0,2acosα)=4a^4∫（-π，π）（cosα）^4dα=4a^4*2*(3/4)*(1/2)*π/2=3πα∧4/2
其中利用到了对称区间积分中函数的奇偶性，还有就是
∫（0，π/2）(sinα)^ndα
=∫（0，π/2）(cos）^ndα
以及他们的积分公式（n分奇偶性来讨论）

回答2：

区间D用极坐标表示为r^2 <= 2a * r * cost => r <= 2acost
所以积分用极坐标可以化成
∫(0~2π) ∫(0~2acost) r^3 dr dt
=4a^4 * ∫(0~2π) cos^4 dt = 4a^4 * 3π / 4 = 3a^4π