已知向量a=(cosA,sinA),b=(cosB,-sinB),(0<A<B<π),求证a+b与a-b互相垂直

a+b=(cosA+cosB,sinA-sinB)
a-b=(cosA-cosB,sinA+sinB)
(a+b)*(a-b)
=(cosA+cosB)(cosA-cosB)+(sinA-sinB)(sinA+sinB)
=cos²A-cos²B+sin²A-sin²B
=(sin²A+cos²A)-(sin²B+cos²B)
=1-1
=0
所以 a+b 和a-b 垂直

a+b=(cosA+cosB,sinA-sinB)
a-b=(cosA-cosB,sinA+sinB)
(a+b)(a-b)=(cosA)^2-(cosB)^2+(sinA)^2-(sinB)^2
=1-1
=0
所以a+b与a-b互相垂直

证明：
由：a=(cosA,sinA),b=(cosB,-sinB),(0有：a+b=(cosA+cosB,sinA-sinB),a-b=(cosA-cosB,sinA+sinB);
(a+b)*(a-b)=(cosA+cosB)*(cosA-cosB)+(sinA-sinB)*(sinA+sinB)
=(cosA)^2-(cosB)^2+(sinA)^2-(sinB)^2
=[(cosA)^2+(sinA)^2]-[(cosB)^2+(sinB)^2]
=1-1
=0
由2个向量点乘等于0则这2个向量垂直可知a+b与a-b互相垂

楼上解答的好，给他吧。
不过我还有个建议，可以简化运算：
(a+b)点乘(a-b)=(a)^2-(b)^2=1-1=0，且(a+b)与(a-b)均不为零向量，所以(a+b)与(a-b)垂直