小学奥数求解答!!!!(要有过程哦!)

2025-02-10 10:05:54
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回答1:

我的解答比较冗长。希望能够抛砖引玉。
(1)为了方便理解,首先列出能够被1-9整除的数的特征。
1.1任何整数都能够被1整除。
1.2被2整除的数字,末位数是0,2,4,6,8。
1.3能够被3整除的数字,各个位上数字之和能够被3整除。
1.4能够被4整除的数字,末两位数能够被4整除。
1.5能够被5整除的数字,末尾数是0或者5.
1.6能够被6整除的数字,末尾是0、2、4、6、8且各位上数字的和能被3整除
1.7能够被7整除的数字,若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
末三法: 这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(反过来也行)能被7、11、13整除。这个数就能被7、11、13整除。
1.8能够被8整除的数字,末三位能够被8整除。
1.9 能够被9整除的数字,各位数字的和能被9整除。

(2)已知条件。
2.1 老师要求大家用这七个互不相同的数字组成一个七位数,使得这个七位数能被它的每位数字整除。这意味着通过调整顺序,一定可以组成这样的七位数。
2.2 A、B、C、D、E、F、G每人有一个不同的数字。且只知道自己的数字。
2.3 他们都很聪明并且诚实,说的都是可以推导出来的实话。
2.4 G说:现在组成的七位数肯定不满足要求。
2.5 A、C、E同时说:现在组成的七位数能被老师告诉我的数字整除。
2.6 D对G说:我们两交换也肯定不满足要求。
2.7 F对G说:我们俩交换下位置,也许就行了。
2.8 G和F交换了位置,得到了新的七位数ABCDEGF。结果老师一检查,真的满足要求了。

(3)开始利用已知条件解答。
3.1 七个数是在1-9中选出的,因为0不能够作为被除数。
3.2 数字1-9含有5个奇数(1,3,5,7,9,姑且认为1是奇数),4个偶数(2,4,6,8).
选出七个数的话,必然同时有奇数和偶数。因为有偶数,最终的七位数也必然是偶数。加上没有包括数字0,末位是2,4,6,8. 这样的七位数不能够被5整除,因此七个数中不包括5.只能在1,2,3,4,6,7,8,9中选取。
3.3 G说:现在组成的七位数肯定不满足要求。G只知道自己的数字,就作出的推断。由于现在G是这个七位数的末尾,如果G发现自己是奇数,知道该七位数肯定不能被偶数整除,就会下这个结论。因此G必然是奇数,在1,3,7,9中选取。
3.4 A、C、E同时说:现在组成的七位数能被老师告诉我的数字整除。这里要用到条件2.1,“通过调整顺序,一定可以组成这样的七位数。”ACE在不知道其他数字的情况下,独自做出结论,说明他们的数字能否被整除,与七位数的顺序无关。满足这个条件的数字是1(只要是整数都可以被1整除),3(只要七位数各个位置上的数字之和是3的倍数,与顺序无关),9(只要七位数各个位置上的数字之和是9的倍数,与顺序无关).所以ACE在1,3,9中选取。
3.5 由于G在1,3,7,9中选取,ACE在1,3,9中选取。那么G只能是7.
3.6 此时我们已知G=7,ACE是(1,3,9)。BDF只能在(2,4,6,8)中选择。
3.7 由于该七位数能够被9整除,七个数字之和必然是9的倍数。ACEG之和是1+3+9+7=20.
BDF三个数之和最小是2+4+6=12,最大是4+6+8=18,七个数的和在20+12=32和20+18=38之间。符合(被九整除)条件的数字只能是36.即七个数字之和是36.
那么B+D+F=36-20=16,根据BDF在(2,4,6,8)中选择,可以找出只能是2+6+8=16.
BDF对应(2,6,8)。
3.8 D对G说:我们两交换也肯定不满足要求。此时,D已经推导出G=7。由于D可以是2,4,8. BDF对应(2,6,8)。
如果D=2,那么F是6或者8,DG对换后的七位数的末两位是62或者82.这样的七位数不能被4整除。
如果D=6,那么F是2或者8,DG对换后的七位数的末两位是26或者86. 这样的七位数不能被4整除。
如果D=8,那么F是2或者6,DG对换后的七位数的末两位是28或者68.此时不能判断七位数不满足条件。D不等于8.
所以,D是2或者6.
3.9 目前已知G=7,ACE是(1,3,9)。BDF只能在(2,4,6,8)中选择。其中D是2或者6.
3.10 F对G说:我们俩交换下位置,也许就行了。
F已经知道G=7,F可能是2,6,8.
FG交换后,七位数的末两位是72或76或78.
其中末尾是78时,不能被4整除,不符合条件,因此F不能是8.只能是2或者6.
此时,考虑E,E可能是1,3,9.
可能的末三位数是172,176,372,376,972,976.
这里考虑末三位要能够被8整除。有176,376,976满足这一条件。所以F=6
3.11 F=6,而“D是2或者6”(见3.8),那么D=2
BDF对应(2,6,8)。所以B=8
3.12 目前已知G=7,F=6,D=2,B=8,ACE对应(1,3,9)
3.13 G和F交换了位置,得到了新的七位数ABCDEGF。结果老师一检查,真的满足要求了。
这一步我没有找到便捷的方法,只好把ACE的几种可能性依次试验。因为前面的过程可知,组成的七位数一定能够被1,2,3,6,8,9整除。所以用除以7加以检验。
假如A=1,C=3,E=9,组成新的七位数1832976.除以7,结果不能整除。
假如A=1,C=9,E=3,组成新的七位数1892376.除以7,结果不能整除。
假如A=3,C=1,E=9,组成新的七位数3812976.除以7,结果不能整除。
假如A=3,C=9,E=1,组成新的七位数3892176.除以7,结果不能整除。
假如A=9,C=1,E=3,组成新的七位数9812376.除以7,结果可以整除。
假如A=9,C=3,E=1,组成新的七位数9832176.除以7,结果不能整除。

所以, G=7,F=6,D=2,B=8,A=9,C=1,E=3,
七个数字之和是36,最后组成的七位数ABCDEGF是9812376。

回答2:

这七个数字分别是:1,2,3,6,7,8,9,它们的和是36
最后组成的七位数是几还没想好

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