级数(-1)^(n+1) (n⼀(n+1))的敛散性

解题过程如下：

limit{n->∞}(n^(n+1/n))/((n+1/n)^n)

=limit{n->∞}[n/(n+1/n)]^n*n*(1/n)

=limit{n->∞}[1/(1+1/n^2)]^n*limit{n->∞}n*(1/n)

=1/limit{n->∞}exp[n*ln(1+1/n^2)]*limit{n->∞}exp[(1/n)*lnn]

=1/limit{n->∞}exp(n*1/n^2)*limit{n->∞}exp(1/n)

=1/exp(0)*exp(0)

=1，不等于0级数发散

扩展资料

求收敛级数的方法：

函数级数是形如∑an(x-x0)^n的级数，称之为幂级数。它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。

例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。

如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界。

例如∑1/n！收敛，因为：Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/22+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

如果级数的每一项依赖于变量x,x 在某区间I内变化,即un=un(x),x∈I，则∑un(x)称为函数项级数,简称函数级数。

若x=x0使数项级数∑un(x0)收敛，就称x0为收敛点，由收敛点组成的集合称为收敛域，若对每一x∈I，级数∑un(x)都收敛，就称I为收敛区间。

函数级数在其收敛域内定义了一个函数，称之为和函数S(x)，即S(x)=∑un(x)如果满足更强的条件，Sm(x)在收敛域内一致收敛于S(x)。

（性质3:在级数前加上或去掉有限项，不改变级数的敛散性.) 级数1/（n+1）是级数1/n的一部分，又因为级数1/n发散，所以级数1/(n+1)也发散

因为二者均为正项级数,且
当n>=6,(n+1)!则有
(n+1)!/n^(n+1)而一般项为1/n^2的级数是p=2>1的p级数,它是收敛的!
利用比较审敛法,得
原级数是收敛的!

简单计算一下即可，答案如图所示