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一道高中数学题:实数a,b满足a^2+b^2+ab=3,设a^2+b^2-ab的最大值和最小值分别为M，m，则M+m=?

2025-04-15 11:29:30

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回答1：

(a+b)^2>=0 a^2+b^2+2ab>=0 a^2+b^2>=-2ab
(a-b)^2>=0 a^2+b^2-2ab>=0 a^2+b^2>=2ab
所以-2ab<=a^2+b^2=3-ab 2ab<=a^2+b^2=3-ab
所以解得-3<=ab<=1
a^2+b^2-ab=3-2ab
-2<=-2ab<=6
所以1<=3-2ab<=9
M=9 m=1
M+m=10

回答2：

∵a^2+b^2+ab＝3
∴a^2+b^2+2ab＝ab+3
∵(a+b)^2 ≥0
∴ab+3≥0，即：ab≥-3
∵a^2+b^2+ab＝3
∴a^2+b^2-2ab＝-3ab+3
∵(a-b)^2≥0
∴-3ab+3≥0 ，即：ab≤1
综合，得：-3≤ab≤1，
∴a^2+b^2-ab＝-2ab+3∈[1,9]
则M＝9，m＝1，
∴M+m＝10

回答3：