已知x+y+1=0,则√（x-1）^2＋﹙y-1﹚^2的最小值是

这就是直线和圆的距离的问题，作经过圆心且垂直于直线的垂线。圆心和直线的垂直距离为最短，那么圆心连接到直线上的距离再减去半径就是圆到直线的最短距离。

几何解答：适合初中学生。
此题可转换为平面解析几何问题，描述的是一个直线x+y+1=0与圆√（x-1）^2＋﹙y-1﹚^2的关系问题。
问题的提法：直线与圆不相割条件下，圆的最小半径是多少？
显然，圆的半径最小值必在直线与圆相切时取得，也就是可以转换为求直线x+y+1=0到圆心点（1,1）距离的最小值问题。
而点（1,1）到直线x+y+1=0距离的最小值为
（1*1+1*1+1）/√1^2+1^2=3/√2。（OK）

数学解答：适合高中与大学生
实质这是一个条件极值问题。可用高等数学的知识求解，约束条件是x+y+1=0。
可用lagrange乘子法将条件极值问题转化为无条件极值问题。
令F（x,y）=[（x-1）^2＋﹙y-1﹚^2] + B*(x+y+1);
对x的导数为零 Fx=2(x-1)+B=0; (1)
对y的导数为零 Fy=2(y-1)+B=0; (2)
约束方程 x+y+1=0 (3)
联立求解（1）（2）（3）得 B=3; x=-1/2; y=-1/2
即：切点为（-0.5，-0.5）
所以：√（x-1）^2＋﹙y-1﹚^2=√9/2=3/√2
此解答与上面的一样，证明本题确实可以转换为求直线x+y+1=0上的点到点（1,1）的距离的最小值问题。切点为（-0.5，-0.5）。
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