五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,连接AD.求证:AD平分∠CDE.

2024-12-05 00:21:38
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回答1:

三、解答题
证一:如图40,连接AC,将△ABC绕A点旋转120°到△AEF.
∵AB=AE,∠BAE=120°,∴AB与AE重合.又∠ABC+∠AED=180°.
∴D,E,F在一条直线上,AC=AF.在△ACD和△AFD中,DE+EF=DE+BC=CD.AF=AC,
∴△ACD≌△AFD,∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE.
证二:如图41连接AC.
∵BC+DE=CD,AB=AE,∠ABC+∠AED=180°.
∴将△ABC,绕C点顺时针方向旋转至
△FGC,同时将△AED绕D点逆时针方向旋转至△FGD.
则AB与AE重合成FG,AC旋转后成CF,AC=CF,AD旋转后成DF,AD=DF,CD=CD.
∴△ACD≌△FCD,∴∠ADC=∠FDC=∠ADE.即AD平分∠CDE.
证三:如图42.
∵BC+DE=CD.在CD上,取CF=DE,则FD=BC.连接BF,FE,AF,AC.
在△BCF和△FDE中,BC=FD,CF=DE,∠BCF=120°,
∠FDE=540°-120°-120°-180°=120°(五边形内角和=540°)
∴△BCF≌△FDE.∴BF=FE,∠1=∠3,∠2=∠4.
在△ABF和△AEF中,培嫌AB=AE,BF=FE,

在△ACF和△ADE中,AF=AE,CF=DE,∠AFC=60°+∠2=60°+∠4=∠AED,
∴△ACF≌△ADE,∠ADE=∠ACF,AC=AD,∠ACF=∠ADF,
∴∠ADE=∠ADF,∴AD平分∠CDE.
证四:如图43,延长BC,ED相交于F,自A向BC和DE的延旅前长线引垂线AG,AH,垂足分别为G,H连接AF与CD相交于K.
在Rt△ABG和Rt△AEH中配镇手,AB=AE,∠ABG=180°-∠AED=∠AEH,
∴△ABG≌△AEH,∴AG=AH,∠BAG=∠EAH.

回答2:

连接AC,延长DE到F,使得DF=CD。
要证AD平分∠CDE,只需证明∠ADC=∠ADF。
下面证明三角形ACD全等于三角形AFD:
因为CD=DF, AD=AD
只需证明AC=AF。

由于AC,AF分别在三角形ABC,AEF中,只需证明这两个三角形全等即可。
首先,由已知得∠ABC=180°-∠AED, ∠AEF=180°-∠AED(互为补角),所以∠ABC=∠AEF。
又因为AB=AE,BC=CD-DE=DF-DE=EF,
根据SAS可知,三角形ABC全等于三角形AEF。
于是,AC=AF。

在三角形ACD和三角形AFD中,根据SSS可知滚乎坦,顷段两个三角形全等。
故∠ADC=∠大桐ADF,即AD平分∠CDE。