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立体由圆锥z＝√（x^2+y^2）和半球面z＝√（2-x^2-y^2）围成，试计算∫∫∫（x^2+y^2）dv

2025-01-21 06:24:52

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回答1：

解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫r²dz (作柱面坐标变换)
=2π∫<0,1>r³[√(2-r²)-r]dr
=2π[∫<0,1>r³√(2-r²)dr-∫<0,1>r^4dr]
=2π{[(1/5)(2-r²)^(5/2)-(2/3)(2-r²)^(3/2)]│<0,1>-[(1/5)r^5]│<0,1>}
=2π[(1/5-2/3-4√2/5+4√2/3)-(1/5-0)]
=4π(4√2/15-1/3)。