∫x(1-e^(-x^2))dx和∫x^2(1-e^(-x^2))dx

∫x(1-e^(-x^2))dx
=1/2x^2-1/2∫e^(-x^2)dx^2
=1/2x^2+1/2∫e^(-x^2)d(-x^2)
=1/2x^2+1/2e^(-x^2)+c

∫x^2(1-e^(-x^2))dx
=1/3x^3-∫x^2e^(-x^2)dx
=1/3x^3+1/2∫xde^(-x^2)

∫xde^(-x^2)
=xe^(-x^2)-∫e^(-x^2)dx
=xe^(-x^2)-∫e^(-x^2)dx
由于∫e^(-x^2)dx是泊松积分.非初等函数,其不定积分只能与极限代替.
其定积分有:
设你所要求的积分为A，
令 B＝ ∫ e^(-x^2)dx 积分区间为负无穷到正无穷，
又 B＝ ∫ e^(-y^2)dy 积分区间为负无穷到正无穷
被积函数e^（-x^2）在正负无穷上偶函数，所以A=B/2
B^2= (∫ e^(-x^2)dx)*(∫ e^(-y^2)dy) = ∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy
将上述积分化到极坐标中， x^2+y^2=r^2
∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy = ∫ ∫ r e^(-r^2)dr dθ r从0到正无穷，θ从0到2π
= ∫ 1/2 dθ θ从0到2π
= π
所以B＝√π
所以你要求的原积分就是 B/2 = √π /2
当然，你要是知道B＝ ∫ e^(-x^2)dx 这个积分是泊松积分，而泊松积分的值就等于√π的话，这道题目的答案不用计算就知道是√π/2，泊松积分这样的常用积分的值你如果能记住的话，对快速解题很有帮助。
泊松积分的计算有两种方法，上面的是把积分化成二重积分来计算，还有一种方法同上面的方法差不多，是把该积分化成喊参变量的积分后再通过夹逼准则来计算，具体你有兴趣的话可以去翻一下有关的高数和数分的教科书。

∫x(1-e^(-x^2))dx
=1/2∫(1-e^(-x^2))dx^2
=1/2x^2+1/2e^(-x^2)+C

∫x^2(1-e^(-x^2))dx
=∫x^2dx-∫x^2e^(-x^2))dx
=1/3x^3-1/2∫xe^(-x^2))dx^2
=1/3x^3+1/2xe^(-x^2)-1/2∫e^(-x^2))dx
没法求了