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1.首先我指出你的毛病：正四面体一定是正三棱锥，但是正三棱锥不一定是正四面体，这个关系你好像没有搞清楚。你的题目中也就是正三棱锥七个字多余，棱长为a，一定是正四面体，不可能是正三棱锥

如图：AB=BC=AC=AD=BD=CD=a，E为BC中点，球心设为O，则O到面ABC的距离即为O到线AE的距离，设为半径R，AE=（√3/2）*a，则R=(AE/3)tan30°=a/6，所以球的体积为V=4πR³/3=πa³/162.

1.三棱锥的四个点为D-ABC，过点D做面ABC的垂线，垂足为点G，连接BG延长交AC于点E，连接DE，连接AG延长交于BC于点F，且圆心为O，过点O做面ADC的垂线，垂足为H，则OH，OG皆为内接圆的半径：
AD=DC=DB=a, ∠DCA=60,∴DE=√3/2a
∵G点为⊿ABC的重心，∴EG= BE/3=DE/3=a √3/6
∴DG=a√((5/12)),tan⁡〖∠DEB〗=DG/EG=√5
∴tan⁡〖∠DOH〗=tan⁡〖∠DEB〗=√5 =DH/OH
∴ OH=2/3DE/√5=√15/15
∴ V=4/3 πOH^3=(4√15)/675 π
2.第二题则为第一题中圆的放大，其半径由OG变为DO，扩大2倍，体积扩大8倍
∵ E为三角形ABC的重心，故AE=2/3AF=√3/3a
由第一题知OH=√15/15,故DO=2DH=2√15/15
所以V=4/3 πOD^3=(32√15)/675 π
三棱锥的四个点为D-ABC，过点D做面ABC的垂线，垂足为点G，连接BG延长交AC于点E，连接DE，连接AG延长交于BC于点F，且圆心为O，过点O做面ADC的垂线，垂足为H，则OH为内接圆的半径：

图呢？