如何证明根号2的根号2次方是无理数

这是√2无理数证明，你可以参考
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q。
再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q
为最简分数,即最简分数形式。
把
√2=p/q
两边平方得
2=(p^2)/(q^2)
即
2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数，p
必定为偶数，设p=2m
由
2(q^2)=4(m^2)得
q^2=2m^2
同理q必然也为偶数，设q=2n
既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾。这个矛盾是由假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。

“有理数的根号二次方不能是有理数”
反例：0^{2^{1/2}},
1^{2^{1/2}}都是有理数
当然除此之外没有别的反例了，但证明很困难
如果你只有高二水平，那么就不用考虑这个问题了，我可以把结论给你，但你至少得学过一部分代数和复分析才能真正知道下面这个定理的意思
Gelfond–Schneider定理：
如果a,
b是代数数,
a不是0或1,
b不是有理数,
那么a^b的所有可能取值都是超越数.

书上证明根号二是无理数是用的反证法，设根号二等于p/q且pq互质，最后推出两者不互质自相矛盾了。至于根号二开根号应该也是一个思路，至少肯定得用反证法。