线性代数：矩阵A与B相似的充分条件

判断两个矩阵是否相似的辅助方法：

（1）判断特征值是否相等；

（2）判断行列式是否相等；

（3）判断迹是否相等；

（4）判断秩是否相等。

以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。（两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。）

秩相等，特征值一致，是矩阵相似的必要条件而不是充分条件。如果两个矩阵特征值相同，并且可对角化(比如有n个不同的特征值)，则它们相似。

另外, 如果学过λ-矩阵的内容, 那么两个矩阵相似的充分必要条件是它们的初等因子(或不变因子)相同。

扩展资料：

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

（1） 求出全部的特征值；

（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

若n阶矩阵A有n个相异的特征值，则A与对角矩阵相似。

对于n阶方阵A，若存在可逆矩阵P， 使其为对角阵，则称方阵A可对角化。

n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设是矩阵A的重特征值。

对任意一个n阶矩阵A，都存在n阶可逆矩阵T使得即任一n阶矩阵A都与n阶约当矩阵J相似。

你能有这样的结论是因为工科数学研究不够深入,一般只讨论实对称矩阵或对称矩阵.

我来举个例子
110
010
001
与
110
011
001
两个3阶矩阵的特征值和秩都相同,却不相似(这个你不用验证,这是jordan标准型~不一样一定不相似)

这样给你讲:你记得矩阵有相抵标准型吧?就是任何矩阵都可以经过初等变换为对角线上是1和0的矩阵,可以看他的秩用~那叫相抵标准型

同样,矩阵也有相似标准型:jordon标准型,只有标准型一样,矩阵才相似.对应的就是上边那位说的不变因子组初等因子组相同,或是拉姆达矩阵相抵.想必你学工科都没听过.
你的结论可以在对称矩阵时成立.

证明对称阵A,B,存在正交阵U,U逆AU=diag对角线上为特征值.如果两个矩阵特征值全相同 就有U1逆AU1=U2逆BU2,A,B相似

不一定。
比如1，2，2是三阶矩阵A的三个特征值，且R(A-2E)=2，此时R(A)=R(Λ)=3，且A和Λ的特征值均为1,2,2；但是由于λ=2是A的二重特征值，而R(A-2E)=2≠n-2=1，所以A不能相似对角化，即不存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=Λ，所以A和Λ不相似。
两个矩阵AB相似的充要条件为：存在可逆矩阵P，使P-1AP=B

秩相等 特征值一致 是矩阵相似的必要条件而不是充分条件

如果两个矩阵特征值相同,并且可对角化(比如有n个不同的特征值), 则它们相似.

另外, 如果你学过λ-矩阵的内容, 那么两个矩阵相似的充分必要条件是它们的初等因子(或不变因子)相同.

1秩相等 2特征值一致，并不能保证特征子空间的几何重数一致。