求当x趋近于正无穷大时lim（x+1⼀x-2)^X的极限值?

解：x→+∞lim[x+1/(x-2)]^x=x→+∞lim[(x²-2x+1)/(x-2)]^x=x→+∞lim[(x- 2+1/x)/(1-2/x)]^x=+∞

其中分母(1-2/x)→1，分子(x-2+1/x)→+∞.

如果分子是(x+1),则：

x→+∞lim[(x+1)/(x-2)]^x=x→+∞lim[1+3/(x-2)]^x

=x→+∞lim{[1+3/(x-2)]^[(x-2)/3]}³{[1+3/(x-2)]²}

=x→+∞lim{[1+3/(x-2)]^[(x-2)/3]}³{x→+∞lim[1+3/(x-2)]²}=e³

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

求当x趋近于正无穷大时lim[x+1/(x-2)]^X的极限值?
解：x→+∞lim[x+1/(x-2)]^x=x→+∞lim[(x²-2x+1)/(x-2)]^x=x→+∞lim[(x- 2+1/x)/(1-2/x)]^x=+∞
其中分母(1-2/x)→1，分子(x-2+1/x)→+∞.
如果分子是(x+1),则：
x→+∞lim[(x+1)/(x-2)]^x=x→+∞lim[1+3/(x-2)]^x
=x→+∞lim{[1+3/(x-2)]^[(x-2)/3]}³{[1+3/(x-2)]²}
=x→+∞lim{[1+3/(x-2)]^[(x-2)/3]}³{x→+∞lim[1+3/(x-2)]²}=e³

lim（x+1/x-2)^X为-1/2