15问答网 > 使用极坐标计算二重积分∫∫(4-x^2-y^2)^(1⼀2)dxdy , D的区域为x^2+y^2<=2x , 及y>=0所围。

使用极坐标计算二重积分∫∫(4-x^2-y^2)^(1⼀2)dxdy , D的区域为x^2+y^2<=2x , 及y>=0所围。

2025-01-13 12:01:07

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回答1：

D: x²+y²≤2x, y≥0
=> x²-2x+1+y²≤1, y≥0
=> (x-1)²+y²≤1, y≥0
即以(1,0)为圆心，半径为1的x轴上方的半圆
以(0,0)为极点, x轴正方向为极轴建立极坐标系, 则
x=rcosθ
y=rsinθ
0≤r≤2cosθ, 0≤θ≤π/2
∴∫∫ (D) √(4-x²-y²) dxdy
=∫∫ (D) √(4-r²) rdrdθ
=∫(0,π/2)dθ∫(0,2cosθ)√(4-r²)rdr
=∫(0,π/2) (-1/3)[4-(2cosθ)²]^(3/2) dθ
=(-8/3) ∫(0,π/2) sin³θ dθ
=(8/3) ∫(0,π/2) (1-cos²θ)d(cosθ)
=(8/3)(cosθ-cos³θ/3)|(0,π/2)
=-16/9