三角函数的图象与性质
一、知识网络
二、高考考点
（一）三角函数的性质
1、三角函数的定义域，值域或最值问题；
2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等.
3、三角函数的周期性； 寻求 型三角函数的周期以及难度较高的含有绝对值的三角函数的周期.
（二）三角函数的图象
1、基本三角函数图象的变换；
2、 型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式；
3、三角函数图象的对称轴或对称中心：誉亮寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题.
（三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平.
三、知识要点
（一）三角函数的性质
1、定义域与值域
2、奇偶性
（1）基本函数的奇偶性 奇函数：y＝sinx，y＝tanx； 偶函数：y＝cosx.
（2） 型三角函数的奇偶性
（ⅰ）g（x）＝ （x∈R）
g（x）为偶函数
由此得 ；
同理， 为奇函数 .
（ⅱ）
为偶函数 ； 为奇函数 .
3、周期性
（1）基本公式
（ⅰ）基本三角函数的周期 y＝sinx，y＝cosx的周期为 ； y＝tanx，y＝cotx的周期为 .
（ⅱ） 型三角函数的周期
的周期为 ；
的周期为 .
（2）认知
（ⅰ） 型函数的周期
的周期为 ；
的周期为 .
（ⅱ） 的周期
的周期为 ；
的周期为 .
均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝ 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.
（ⅱ）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.
（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.
（3）特殊情形研究
（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为 ；
（ⅱ） 的最小正周期为 ；
（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 .
由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.
4、单调性
（1）基本三角函数的单调区间（族）
依从三角函数图象识证“三部曲”：
①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；
②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；
③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）
循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.
揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.
（2）y＝ 型三角函数的单调区间
此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为
①换元、分解：令u＝ ，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝ ；
②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；
③还原、结论：将u＝ 代入②中u的或码不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论.
（二）三角函数的图象
1、对称轴与对称中心
（1）基本三角函数图象的对称性
（ⅰ） 正弦曲线y＝sinx的对称轴为 ； 正弦曲线y＝sinx的对称中心为（ ，0） .
（ⅱ） 余弦曲线y＝cosx的对称轴为 ； 余弦曲线y＝cosx的对称中心
（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为 ； 正切曲线y＝tanx无对称轴.
认知：
①两弦函数的共性：
x＝ 为两弦函数f（x）对称轴 为最大值或最小值；（ ，0）为两弦函数f（x）对称中心 ＝0.
②正切函数衫虚哪的个性：
（ ，0）为正切函数f（x）的对称中心 ＝0或 不存在.
（2） 型三角函数的对称性（服从上述认知）
（ⅰ）对于g（x）＝ 或g（x）＝ 的图象
x＝ 为g（x）对称轴 为最值（最大值或最小值）；（ ，0）为两弦函数g（x）对称中心 ＝0.
（ⅱ）对于g（x）＝ 的图象（ ，0）为两弦函数g（x）的对称中心 ＝0或 不存在.
2、基本变换
（1）对称变换 （2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移
3、y＝ 的图象
（1）五点作图法
（2）对于A，T， ， 的认知与寻求： ①A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；
2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影 间的距离.
② ：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离； ：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.
： 由T＝ 得出. ③ ：
解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求 ，则须注意检验，以防所得 值为增根；
解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.
四、经典例题
例1、求下列函数的值域：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为 的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.
解：
（1）
∵
∴ ， 即所求函数的值域为 .
（2）由
∴
∴ 注意到这里x∈R， ，
∴
∴所求函数的值域为[－1，1].
（3）这里 令sinx＋cosx＝t 则有
且由
于是有
∵ ∴
因此，所求函数的值域为 .
（4）注意到这里y>0，且 ∵ ∴ 即所求函数的值域为 .
（5）注意到所给函数为偶函数，又当 ∴此时
同理，当 亦有 . ∴所求函数的值域为 .
（6）令 则易见f（x）为偶函数，且
∴ 是f（x）的一个正周期. ① 只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.
当x∈[0， ]时， 又注意到 ，
∴x＝ 为f（x）图象的一条对称轴 ②
∴只需求出f（x）在[0， ]上的最大值.
而在[0， ]上， 递增. ③ 亦递增④
∴由③④得f（x）在[0， ]上单调递增.
∴ 即 ⑤
于是由①、②、⑤得所求函数的值域为 .
点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.
例2、求下列函数的周期：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ； （5）
分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为 ＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.
解： （1） ＝
＝
∴所求最小正周期 .
（2） ＝ ＝ ＝
∴所求周期 .
（3） ＝
＝
＝ .注意到 的最小正周期为 ，故所求函数的周期为 .
（4） 注意到3sinx及-sinx的周期为2 ，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期为2 . ∴所求函数的周期为2 .
（5）
注意到sin2x的最小正周期 ，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期 ，这里 的最小公倍数为 . ∴所求函数的周期 .
点评：对于（5），令 则由 知， 是f（x）的一个正周期.①
又 ∴ 不是f（x）的最小正周期. ②
于是由①②知，f（x）的最小正周期为 .
在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.
请大家研究 的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验.
例3、已知函数的部分图象，
（1）求 的值； （2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.
解：
（1）令 ，则由题意得f（0）＝1
∵ ∴
注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为 ，故逆用“五点作图法” 得： 由此解得 ∴所求 ， .
（2）由（1）得 令 ，解得 ，
∴函数f（x）图象的对称轴方程为 ；令 解得 ，
∴函数f（x）图象的对称中心坐标为 .
点评：前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式：
例4、 （1）函数 的单调递增区间为 。
（2）若函数 上为单调函数，则a的最大值为 。
（3） 函数 的图象的对称中心是 。
函数 的图象中相邻两条对称轴的距离为 。
（4）把函数 的图象向左平移m（m>0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为 。
（5）对于函数 ，给出四个论断：
①它的图象关于直线x＝ 对称； ②它的图象关于点（ ,0）对称；
③它的周期为 ； ④它在区间〔－ ，0〕上单调递增.
以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是 。
分析：
（1）这里 的递增区间 的正号递减区间 递增且
∴应填
（2）由f（x）递增得
易见，
由f（x）递减得
当k＝0时， 注意到 而不会属于其它减区间， 故知这里a的最大值为 .
（3）（ⅰ）令
∴所给函数图象的对称中心为（ ，0） ；
（ⅱ） ①
解法一（直接寻求） 在①中令 则有 ②
又在②中令k＝0得 ， 令k＝1得 ∴所求距离为 －
解法二（借助转化）：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由①得这一函数的最小正周期为
T＝ ，故所求距离为 .
（4）这里 将这一函数图象向左平移m（m>0）个单位，所得图象的函数解析式为 令
则由题设知f（x）为偶函数 f（－x）＝f（x）
∴所求m的最小值为 .
（5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，③必须作为条件，而④只能作为结论.于是这里只需考察
①、③ ②、④与②、③ ①、④这两种情形.
（ⅰ）考察①、③ ②、④是否成立.
由③得 ，故 ；又由①得
注意到 . ∴在①、③之下， ，易知此时②、④成立.
（ⅱ）考察②、③ ①、④是否成立. 由③得 ，故 ；
又由②得 注意到 .
∴在②、③之下， ，易知此时①、④成立.
于是综合（ⅰ）（ⅱ）得正确的命题为①、③ ②、④与②、③ ①、④.
点评：对于（4）利用了如下认知： ；
.
对于（5），认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节.
例5、已知 的最小正周期为2，当 时，f（x）取得最大值2.
（1）求f（x）的表达式；
（2）在闭区间 上是否存在f（x）图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由.
分析：出于利用已知条件以及便于考察f（x）的图象的对称轴这两方面的考虑，先将f（x）化为 ＋k的形式，这是此类问题的解题的基础.
解： （1）去
令 ， ，即 则有 ①
由题意得 ② 又由①知 ，注意到这里A>0且B>0，取辅助角 ，
则由②得 ③
（2）在③中令 解得x＝k＋
解不等式 ④ 注意到 ，故由④得k＝5.
于是可知，在闭区间 上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为 .
点评：对于最值，对称轴和对称中心等问题，f（x）一经化为 ＋k的形式，解题便胜券在握.
例6、已知点 的图象上.若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0.求当g[f（x）]<0且x∈[0， ]时，实数a的取值范围.
分析：由点A、B都在函数 的图象上 得： ，∴b＝a，c＝1－a.
∴ ∴
此时，由g[f（x）]<0且x∈[0， ]解出a的范围，一方面需要利用g（x）的单调性脱去“f”，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简.因此，下一步的首要工作是考察并利用g（x）的单调性.
解：由分析得
∵定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0， ①
∴g（x）在（－∞，0）上是增函数，且g（－2）＝0② ∴由①②知，当x<-2或0
∴g[f（x）]<0且x∈[0， ] g[h(t)]<0，且 . ∴由③得，当 时，h（t）<－2或0
由0
（1）h(t)>0， ⑤ 当a>0时，h(t)在 上递增， ∴由⑤得，h(1)>0，显然成立；
当a<0时，h(t)在 上递减 ∴由⑤得，h( )>0 （ －1）a＋1>0 ；
当a＝0时，h（t）显然满足1
当a<0时，h(t)在 上递减 ∴由⑦得，h(1)<2,显然满足条件； 当a＝0时，h（t）＝1，显然满足条件.
因此由⑦得 ⑧ 于是综合（1）（2）知，由0
（一）选择题
1、（湖北卷）若 （ ）
A. B. C. D.
分析：注意到我们对 的熟悉，故考虑从认知 的范围入手，去了解 的范围.
由 ∴ ， ∴
应选C.
2、函数 的部分图象如图，则（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：由图象得 . ∴ ， ∴
又f(1)=1，∴ 注意到 ，∴ 应选C.
（二）、填空题
1、（湖北卷）函数 的最小正周期与最大值的和为 。
分析：对于含有绝对值的三角函数的周期或值域，基本策略是化为分段函数，分段寻求周期或范围，而后综合结论.
（1）注意到sin2x的最小正周期 ，而sinx≥0的解区间重复出现的最小正周期 ，而 的最小公倍数为 ，故所求函数的最小正周期为 .
（2）由分段函数知，y的最大值为 ， 于是由（1）（2）知应填 .
2、（辽宁卷） 是正实数，设 .若对每个实数a， 的元素不超过两个，且有a使 含2个元素，则 的取值范围是 。
分析：
∴
注意到有a使 含有两个元素， ∴相邻两 值之差 ①
注意到 的元素不超过两个， ∴相间的两个 值之差 ②
∴由①、②得 .
点评： 对于（1），在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后，还要考察各分支中“不等式的解区间”重复出现的周期，二者结合才能得出正确结论.
对于（2），这里的 决定于f（x）在一个周期图象的左端点横坐标，由此便于认识相邻两个 值之差 的意义.
（三）解答题
1、若函数 的最大值为2，试确定常数a的值.
分析：鉴于过去的经验，首先致力于将f（x）化为 ＋k的形式，而后便会一路坦途.
解： ＝
＝ 由已知得 .
点评：本题看似简单，但考察多种三角公式，亦能体现考生的基本能力.
2、设函数 y＝f（x）图象的一条对称轴是直线 .
（1）求 ；（2）求函数y＝f（x）的单调增区间；（3）证明直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f（x）的图象不相切.
分析：对于（3），由于f（x）为三角函数，故需要利用导数的几何意义来解决直线与图象的相切或不相切问题.其中，要证直线l与y＝f（x）的图象不相切，只需证直线l的斜率不属于y＝f（x）图象上点的切线斜率的取值集合.
解：（1）∵ 为函数 图象的对称轴， ∴
∴ 即
又 .
（2）由（1）知 ， 当 时，y＝f（x）递增，
∴所求函数f（x）的增区间为 .
（3）∵
∴y＝f（x）图象上点的切线的斜率范围为[－2，2].
而直线5x－2y＋c＝0 ，
∴直线5x－2y＋c＝0与函数 的图象不相切.
点评：有导数及其几何意义奠基，便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不相切问题.此题（3）的解题思路，值得大家仔细领会与品悟.
3、已知函数 是R上的偶函数，其图象关于点M（ ）对称，且在区间 上是单调函数，求 的值.
分析：在此类三角函数问题中，已知函数的周期可直接确定 的值；已知函数图象关于某直线（或某点）对称，则只能导出关于 的可能取值，此时要进一步确定 的值，还需要其它条件的辅助；而已知函数在某区间上单调的条件，一般只在利用函数图象对称性寻出 的可能取值之后，用它来进行认定或筛选.
解：由f（x）为偶函数得f（－x）＝f（x）（x∈R）
即
又 故有 由f（x）图象关于点M（ ）对称得
令x＝0得 而
由此解得
当k＝0时， ，此时
当k＝1时，
当k≥2时， ， 故此时
因此，综合以上讨论得 或 . ∴所求 ，而 或 .
点评：对于正弦函数y＝ ＋k或余弦函数y＝ ＋k，在单调区间“完整”的一个周期T，恰是增减区间的长度各为 ；而在任何一个周期T上，增区间（或减区间）的长度均不超过 .因此，若区间 的长度大于 ，则函数在区间 上不会是单调函数.
4、设函数f（x）＝xsinx（x∈R）.
（1）证明： ，其中k为正整数.
（2）设
（3）设f（x）在（0，＋∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 ，
证明：
分析：注意到正弦函数为f（x）的成员函数之一，试题中又指出f（x）的极值点，故需应用导数研究极值的方法与结论.可见，解（2）（3），均需要从f＇（x）切入.
证明： （1） ∵f（x）＝xsinx（x∈R）
∴
（2） 令 ①
显然cosx＝0不是①的解，故由①得x＝－tanx ②
②，即有 ，
于是 ＝ ＝
（3）设 是 的一个正整数根，即 ，则由直线y＝x与曲线y＝－tanx的位置关系知：对每一个 ，存在 ，使 ，注意到g（x）＝x＋tanx在 上是增函数，且 ∴g（x）在 又cosx在 内符号不变，
∴（x＋tanx）cosx＝sinx＋xcosx＝ 在 与在 内异号，
∴所有满足 的 都是f（x）的极值点.
由题设 为方程x＝－tanx的全部正根.且 ，
∴ ③
再注意到 ④
而 ∴1＋
∴由④得 ⑤
于是由③、⑤得，
点评：在这里应注意对（2）、（3）中极值点的区别.对于（2）， 只需满足 即可；对于（3）中的 不仅要满足 ，还需认定 在点x＝ 左右两边异号.
定义域不同
A可以取所有实数
B不能取(pi/2)+kpi
定义域不一样。。。
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