已知A1=2,数列A(n+1)=2⼀(An+1),求An的通项

2025-01-05 01:38:46

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回答1：

A(n＋1)－1=[2/(An＋1)]－1
A(n＋1)－1=[1－An]/(An＋1) 取倒数，得：
1/[A(n＋1)－1]=[－(An＋1)]/[An－1]=－1－2/[An＋1]

设：bn=1/[An＋1]，则：
b(n＋1)=－1－2bn
b(n＋1)＋(1/3)=－2bn－2/3=－2[bn＋(1/3)]
[b(n＋1)＋(1/3)]/[bn＋(1/3)]=－2=常数，即：数列{bn＋(1/3)}是以b1＋1/3=1/[A1＋1]＋1/3=2/3为首项、以q=－2为公比的等比数列，则可以求出bn＋(1/3)=(－2/3)×(－2)^(n－1)，即：
1/[An＋1]＋(1/3)=(－2/3)×(－2)^(n－1)
……………………

回答2：

设bn=(an+2)/(an-1) 则b(n+1)=(-2)bn b1=4 所以bn=(-2)^(n+1)
所以an=(bn+2)/(bn-1)=1+3/((-2)^(n+1)-1)

回答3：

二楼的思路很适合这类题