大学微积分，关于偏导和全微分的两道习题

2025-02-07 21:38:21

推荐回答（3个）

回答1：

你需要注意,偏导数和微分是不同的
(偏z/偏x)和(dz/dx)只是看起来像
它们有一个最大的不同就是,(dz/dx)中的dz和dx分开也是有意义的
但是(偏z/偏x)如果分开就没有意义了
对z=z(x,y)
dz=(偏z/偏x)dx+(偏z/偏y)dy
所以求偏导数有两个基本方法
一是把y当常数，把z看成z(x,y0)=z(x)
这样做的结果是上式中的dy=0，此时有dz=(偏z/偏x)dx，即dz/dx=(偏z/偏x)
所以用一元函数求导的方法就可以求出偏导数
(偏z/偏x)=y/(1+x^2y^2)

第二种方法是完整求出z的全微分，用比较系数法，其中dx的系数就是(偏z/偏x)
dz=(ydx+xdy)/(1+x^2y^2)
显然dx的系数为(偏z/偏x)=y/(1+x^2y^2)

如果想求dz/dx，就要继续把dy化成dx将dy=ydx代入上式
dz=(ydx+xdy)/(1+x^2y^2)=(ydx+xydx)/(1+x^2y^2)=y(1+x)dx/(1+x^2y^2)
所以dz/dx=y(1+x)/(1+x^2y^2)
为了方便起见我没有把y=e^x代入结果，如果是题目直接问的一般要换，否则不用

对第二道题，由于u没有具体的表达式，所以没有办法用上述的第一种方法来算，只能用第二种方法

回答2：

这个题目是这样来理解的z=z(x,y),y=y(x),令u=x,v=y
∂z/∂x=∂z/∂u*du/dx+∂z/∂v*dv/dx
这样做才是正确的
下面一个题目
z=(u,v,w),u=u(x),v=v(x),w=w(x)
∂z/∂x=∂z/∂u*du/dx+∂z/∂v*dv/dx+∂z/∂w*dw/dx

回答3：

第一题，题目的要求有点问题吧，复合后z是x的一元函数，所以只能是求dz/dx，不能写αz/αx。如果只有第一个函数z＝arctan(xy)，才是αz/αx。
像这种u＝f(x,y(x),z(x,y))这种形式的函数，自变量也作为中间变量，总体方法是复合函数求导公式，但是要注意写法，否则会出现问题：在假设中间变量时，应该把作为中间变量的自变量也应该换个符号，看作中间变量。比如三元函数u＝f(x,xy,xyz)，引入中间变量s＝x，t＝xy，w＝xyz，则函数是复合函数u＝f(s,t,w)，s＝x，t＝xy，w＝xyz。则αu/αx＝αu/αs×1＋αu/αt×y＋αu/αw×yz，....
印象中，同济版高数课本中有这种例题。

你说的du，dx，dy...是第二题最简单的做法，不用管各个变量之间的函数关系，只是套用微分公式、微分法则计算，最后把du表示为自变量的微分dx,dt的组合就行了。
第一题也可以用：dz＝1/(1+x^2y^2)d(xy)＝1/(1+x^2y^2)(ydx＋xdy)＝1/(1+x^2y^2)(e^xdx＋xe^xdx)＝(x+1)e^x/(1+x^2e^(2x))dx，所以dy/dx＝(x+1)e^x/(1+x^2e^(2x))

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