高中数学中如何解简单的一元三次方程

2025-02-07 06:49:10

推荐回答（5个）

回答1：

一元三次方程的标准型为aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于卡尔丹公式解题存在复杂性，对比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。
1．卡尔丹公式法
　　（卡尔达诺公式法）
　　特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)
　　判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3
　　【卡尔丹公式】
　　X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；
　　X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；标准型方程中卡尔丹公式的一个实根
　　X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，
　　其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2；
　　Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。
　　标准型一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0
　　令X=Y—b/(3a)代入上式，
　　可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0。
　　【卡尔丹判别法】
　　当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
　　当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
　　当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。
2．盛金公式法
　　三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
　　【盛金公式】
　　一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
　　重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，
　　总判别式：Δ=B^2－4AC。
　　当A=B=0时，盛金公式①：
　　X⑴=X⑵=X⑶=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
　　当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：
　　X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)；
　　X(2，3)=(－2b＋Y⑴^(1/3)＋Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(6a)；
　　其中Y(1，2)=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
　　当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：
　　X⑴=－b/a＋K；X⑵=X3=－K/2，
　　其中K=B/A，(A≠0)。
　　当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：
　　X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；
　　X(2，3)=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)；
　　其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1　　【盛金判别法】
　　①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
　　②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
　　③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
　　④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
　　【盛金定理】
　　当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
　　当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：
　　盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
　　盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
　　盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
　　盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
　　盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
　　盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
　　盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
　　盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。
　　盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。
　　显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
　　注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。
　　盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
　　当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。

回答2：

通常就是将式子分解成几个不可约因式的乘积，这里面用到的提取公因式，十字相乘法等等的过程，需要灵活运用的。祝你好运！~~

回答3：

其实解一元三次方程没多少实际用处，因为解出来都是数字在开三次方然后通过加减乘除的表达式，还不如计算机来的快。高中数学题目中偶尔也会遇到一元三次方程，一般是有巧办法的，就是根据题意可以领会。如果给了你一个跟，那就很简单了，就用一元三次方程除以x-a，比如说
x3+x-a=0有一个根是1，则将1带入得a=2，然后用x3+x-2除以x-1得到x2+x+2，做除法的时候是先消去高次方

回答4：

知道一个跟x=a，让方程除以x-a
怎么讲其实我们也不太会

回答5：

高中里面一般而言解3次方程都有一个很明显的根的（试验得出···）剩下两个用楼主说的除法也行用提取公因式也OK

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