举个例子证明反函数的导数是原函数导数的倒数

2025-03-22 04:06:19

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回答1：

这个是定理，关键是很多人理解错误，比如上面那个答案。
你可以把反函数写成x=f^-1（y）=g（y），原函数写成y=f（x）
那么两边都求导就可以了。
比如原函数y=1/x，导数是y=-x^-2，导数的倒数就是y=-x^2
反函数x=1/y,导数是x=-y^-2，那么也就是y=-x^2
这就一致了~

回答2：

这不是定理，您的命题也不正确。
例如，设原函数为1/x, 它的导数是-（x的负二次方）。
这个原函数的反函数仍然是1/x, 反函数的导数恰为原函数的导数。与倒数无关。

回答3：

设y=f(x),其反函数为x=g(y)，
可以得到微分关系式：dy=(df/dx)dx，dx=(dg/dy)dy。
那么，由导数和微分的关系我们得到，
原函数的导数是df/dx=dy/dx，
反函数的导数是dg/dy=dx/dy。
所以，可以得到df/dx=1/(dg/dx)。
这个证明我不能保证是对的，仅供参考。