为什么相似矩阵有相同的最小多项式

证明：设矩阵a与b相似，fa（x），fb（x）分别为它们的最小多项式。

由a相似于b，存在可逆矩阵T，使b=T⁻¹aT。

从而fa（b）=fa（T⁻¹aT）=T⁻¹fa（a）T=0

所以fa（x）也以b为根，从而fb（x）lfa（x）。

同理可得fa（x）lfb（x）。

又fa（x），fb（x）都是首1多项式，所以fa（x）=fb（x）。

扩展资料：

相似矩阵的性质：

1、若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。

2、相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。

3、n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设是矩阵A的重特征值。

设A~B,A、B的极小多项式分别为f(x),g(x).有A和B相似知，(由于无法打出逆矩阵符号，以Q代表矩阵P的逆矩阵) 存在可逆矩阵P使得B=QAP。
故f(B)=f（QAP）=Qf(A)P=0矩阵；故f(x)为B的零化矩阵，故B的最小多项式g(x)必整除f(x).同理，f(x).必整除g(x).又两者首系数均为1，从而f(x)和g(x)相等。