15问答网 > 已知f（n）=1+1⼀2+1⼀3+…+1⼀n，用数学归纳法证明n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）（n≥2，n∈N+）

已知f（n）=1+1⼀2+1⼀3+…+1⼀n，用数学归纳法证明n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）（n≥2，n∈N+）

2024-12-04 16:20:34

推荐回答（2个）

回答1：

证明：
当n=2时，2+f(1)=2+1=3=2f(2)=2(1+1/2)，成立
设n=k时，k+f(1)+f(2)+...+f(k-1)=kf(k)
当n=k+1时，k+1+f(1)+f(2)+...+f(k-1)+f(k)=kf(k)+1+f(k)=(k+1)f(k)+1=(k+1)[f(k)+1/(k+1)]
=(k+1)f(k+1)成立
所以n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）（n≥2，n∈N+）

回答2：

n=2，2+f(1)=3=2*f(2),显然成立。
假设，n=k-1的时候，等式成立。即(k-1)*f（k-1）=(k-1)+f(1)+f(2)+……+f（k-2）
则k*f（k）=k*[f(k-1)+1/k]=(k-1)*f(k-1)+f(k-1)+1
=(k-1)+f(1)+f(2)+……+f（k-2)+f(k-1)+1
=k+f(1)+f(2)+……+f（k-2)+f(k-1)
得证！