怎样利用初等矩阵证明：初等行（列）的变换不改变矩阵的秩

证明如下：

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初等行（列）的变换的性质：

1、初等行（列）的变换不改变矩阵的秩，即A变换为B，则R(A)=R(B);

2、一数乘行列式的一行就相当于这个数乘此行列式；

3、如果行列式中有两行相同，那么行列式为0，所谓两行相同，即两行对应的元素都相等；

4、换法变换的行列式要变号；倍法变换的行列式要变k倍；消法变换的行列式不变。

证明如下：

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次三种矩阵初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。

扩展资料：

初等矩阵的应用：

1、在解线性方程组中的应用

初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。

2、用于求解一个矩阵的逆矩阵

有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

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