1*2+2*3+3*4+......+n*(n+1)

首先证明
1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/6 * n(n+1)(2n+1)
n=1是成立，假设当n=k时成立。
那么
1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=1/6 * k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2
整理得
1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=1/6 * (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+2)
由数学归纳法知1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/6 * n(n+1)(2n+1)
那么
1*2+2*3+3*4+......+n*(n+1)=
(1*2+1)+(2*2+2)+(3*3+3)+...+(n*n+n)=
(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)=1/6 * n(n+1)(2n+1)+n(n+1)/2=
1/3 n (n+1) (n+2)
故1*2+2*3+3*4+......+n*(n+1)=1/3 n (n+1) (n+2)

1*2+2*3+3*4+......+n*(n+1)
=(1*1+1)+(2*2+2)+(3*3+3)+......(n*n+n)
=(1^2+2^2+3^2+......n^2)+(1+2+3+......n)
=n*(n+1)*(2*n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3